很水的数学分析123：道路连通

一、1.集合的连通性跟在什么空间无关。

二、2.IR中I连通⇔I是区间

证明首先需要用数学语言表达区间：

∀a,b∈I（a＜b)，[a,b]⊆I

必要性用反证法，

充分性用二分法构造闭区间套。

3.定理2.44。连续映射“保持连通性”。

连通和连续的关系。

证明：反证法，假设f(X)存在划分｛U, V｝且U, V开集，则根据集合论，｛f⁻¹(U), f⁻¹(V)｝也是划分，又连续映射，f⁻¹(U), f⁻¹(V)开集，矛盾。

4.结合“2，3”，推得多元函数的介值定理。

5.“2，3，4”表明一元连续函数里“将区间映到区间”、介值定理依赖的集合的性质其实不是开闭，而是连通性。

三、“8”是下节课需要用到的命题，为此需要“6，7”。

6.命题2.46。拓扑空间X有一个划分｛U, V｝，U, V开集，若Y连通，则Y⊆U或Y⊆V。

7.由“6”推得命题2.47，“夹逼”。

8.“7”的推论：拓扑空间中E连通，则Ē连通。

四.道路连通。

9.铺垫下节课内容。

10.直线道路。（定比分点式子）

单位球上任一两点之间都有直线道路。

凸集。凸集上任意两点的直线道路在凸集中。

星形集。锚定一点...

12.穿孔空间。