维数论 1

若度量空间（X，d）存在可数的稠密子集，则称（X，d）为可分度量空间。

设X是正则空间，定义

1  indΦ=-1

2  假定对任意的正则空间Y，indY≤n-1已经有定义。若对任意的x∈X及开集U，x∈U ,存在开集V使得x∈V⊂cLV⊂U且ind bdV≤n-1，则定义 indX≤n；

3 若indX≤n  但indX>n-1,则定义indX=n；

4 若对一切自然数n，indX>n，则定义 indX=∞

我们称indX为空间X的小归纳维数 。

进一步，对上述定义做一点修改就可以定义正规空间X的大归纳维数IndX。事实上，我们用IndX代替上述定义中的indX，用下面的Ind（2）替换ind（2）；

Ind（2）假定对任意的正规空间Y，IndY≤n-1已经有定义。若对任意的闭集A及开集U⊃A，存在开集V使得A⊂V⊂clV⊂U且Ind bdV≤n-1，则可以定义IndX≤n。

为了定义覆盖维数，我们首先给出开覆盖秩的概念。设U是X的开覆盖，若对任意的x∈X，在U中最多存在n+!个元素包含x，则称U的秩不超过n，记作ordU≤n。ordU是一个最小的数n使得ordU≤n。显然，ordU≤n 等价于U中最多有n+1个元素相交非空，即U中任意n+2个元素的交都是空的。

定义   设X是正规空间，n∈ω。若对X的任意有限开覆盖U，存在U的有限开加细V使得ordV≤n，则称X的覆盖维数不超过n，记作dimX≤n。用dimX表示使得dimX≤n成立的n，如果这样的n存在的话，否则,我们认为dimX=∞。同时，为了方便，我们规定dimΦ=-1。我们称dimX为空间X的覆盖维数。