泰勒公式系列之一，多项式逼近

同学们大家好，今天我们来学习泰勒公式

泰勒公式由两部分组成:第一部分为多项式,第二部分为余项

它其实是光滑函数的另一种表达。

1 泰勒公式表示光滑函数

以光滑函数为例(下图中的绿色曲线)。多项式是如何逼近的。

注意到此时，多项式是约等于光滑函数。而如果加上余项后，约等号就能变成等号了。

在本文中，我们不讨论余项，单看多项式是如何逼近光滑函数的

2 多项式中的

在多项式中，除了自变量，还有一个可以变动的参数

它代表的是泰勒公式的展开位置。 时， 泰勒公式在点处展开。

此时，多项式与光滑函数在点附近贴合的较好

时，泰勒公式在点处展开。此时多项式与光滑函数在点附近贴合的较好。

本文将以,即泰勒公式在点展开为例，讲解多项式是如何逼近光滑曲线的。

3 幂函数

将多项式展开

去掉系数后，可以看到多项式的基础组成部分是幂函数

幂函数可以分为偶函数和奇函数两种

偶函数开口方向相同，奇函数开口方向相反

它们组合在一起就能产生拉伸的曲线

让我们看个更复杂的例子

4 复杂的例子

4.1 第一次靠近

蓝色表示的是光滑函数，多项式是的一次方

此时可以看到，在绿色区域，多项式与光滑函数贴合的较好，而红色区域，多项式开始远离光滑函数。

为了贴近光滑函数，左边的红色区域需要向上弯，右边的红色区域需要向下弯。

两边弯的方向不一致，需要的是奇函数。这里选择

与多项式相加，确实达到了左边向上，右边向下的效果。

但是，之前表现较好的绿色区域，却出现了多项式与光滑函数贴合不好的情况。

说明弯的有点过头了，这时可以考虑给加一个系数。加上系数后，奇函数显得更为扁平。

此时再与多项式相加，就达到了预期的效果。

4.2 第二次靠近

接着，为了继续靠近，需要左边向下弯，右边向上弯

弯的方向不一致，还是选择奇函数

与此奇函数相加，多项式更贴合光滑函数了

看完这个例子，让我们回到本文开始的地方。

5 开头的例子

需要逼近的光滑曲线用蓝线表示，多项式的第一项是常数1

为了靠近光滑函数，需要左边向下弯，右边向上弯

弯的方向不一致，需要加奇函数，选择与的一次方相加。相加后的多项式呈一条斜的直线

此时为了逼近光滑函数，需要同时向上弯。

弯的方向一致，需要加偶函数，选择与相加。

随着项数的增加，多项式不断逼近光滑曲线。

6 总结

这节课，我们学习了泰勒公式。并着重讲解了，零点展开的多项式，如何逼近光滑函数。

不过对于系数该怎么确定，余项代数式如何表达，都没有展开

这些留待以后再给同学们讲解。