计算机图形学的光学基础&BRDF公式的推导
水了挺多文了，还是还是想写点干货的。考虑到dx，openGL，vulkan，metal教程和书籍都挺多了，而且讲图形API挺没意思的，这次写点偏数学的东西。这次内容乍看非常简单，但应该已经包含实时渲染和PBR中的很多关键知识。如果立志走CG的话是一定要看懂的。而且，这篇文章也可以帮助一些小伙伴判断自己对图形学是否真的感兴趣。
光学的分类
几何光学有两个重要的分支，分别是几何光学和波动光学。
波动光学
微观视角
光在介质中以波的形式传播
可以解释衍射， 涉等现象
以波长为研究对象，非常复杂
几何光学
宏观视角
可见光的波长非常短，可以忽略
在 λ→0 的情况下，光学定理可以用几何学描述
光可以看做沿着直线传播
图形学的光学需求
计算机图形学中使用几何光学，但是几何光学模型仍然过于复杂，因此，计算机图形学中的几何光学模型，相比物理学中的几何光学模型继续做了如下简化：
物体表面是绝对光滑(smooth)的
光只可以被发射(emitted)，反射(reflected)或者传播(transmitted)
光速无穷大*(光以无限快的速度沿直线传播)
在某些极其特殊的光照模型(需要光程差)中不适用，不过实时渲染中暂时没有使用这些光照模型的可能
图形学使用的几何光学定理
光入射到物体表面时，同时发生反射和折射。
1. 反射定理
光射到一个界面上时，其入射光线与反射光线成相同角度
2. 折射定理
折射光线位于入射光线和界面法线所决定的平面内；
折射线和入射线分别在法线的两侧；
入射角 θ1 的正弦和折射角 θ2 的正弦的比值，对折射率一定的两种媒质来说是一个常数。
3. 菲涅尔定理
在计算机图形学中，人眼看到的是物体表面反射的光，因此我们要求出物体表面反射部分光线的能量。
该公式在计算时依旧过于复杂，所以实际计算时一般使用菲涅尔反射能量公式的Schlick近似公式：
反射率随入射角变化曲线：
金属：
非金属：
金属反射率随入射角变化曲线
接下来，我们就要尝试由光学定理推导BRDF渲染方程，我以比较简单的GGX BRDF为例。
1. 图形学中几何光学模型的限制
目前为止的理论要求我们所处理的表面是绝对光滑的，但只有相当于微观原子尺寸上，表面才可能绝对光滑，在实际物体表面物体是有微小的无规则起伏的。
2. 微面元理论
核心思想：使用一个统计分布函数来描述微观尺寸
假设我们能够处理微观尺寸，则来自同一个方向的光照会被反射至多个方向。那么只要能够模拟这个行为，就能在像素尺寸模拟微观结构的光学行为。所以可以定义一个法线分布函数，以代替单个像素的法线值。
3. 法线分布函数D
法线分布函数表示微面元发现方向的统计分布。给定一个入射方向，一个微面元有多大概率朝向半向量方向。
法线分布函数有各向同性、各向异性之分。
对于GGX(二维函数，园对称)，只需要表面的
粗糙度
半向量与法线的夹角
法线分布函数虽然模拟了表面的凹凸的情况，但是缺忽略了一个问题，那就是微面元上光线被凹凸遮挡的问题。
为了解决这个问题，引入一个阴影补偿函数G，来模拟表面凹凸遮挡阴影的情况。
4. 双向阴影遮挡函数G
NDF假设所以微面元位于同一平面，不考虑实际几何结构导致的遮挡。它描述的是那些具有半向量法线的微面元中，有多少比例是同时被入射方向和反射方向看到的(或者说没有被阻挡的)，一般使用史密斯阴影函数。
用来补偿的阴影遮挡函数G是一个纯粹的经验模型，没有任何光学理论的支撑。函数 G1 表示光没有被凹凸表面遮挡的概率。将入射光和反射光概率相乘就是整个光路光线不被遮挡的概率。所谓双向，就是入射光和反射光两个方向
现在我们有了物体表面能量的表示方法。由于我们只关心反射能量，所以上述公式还要再乘以菲涅尔公式，就是物体表面的反射能量。
5. 双向分布函数BRDF
D 为法线分布函数
F 为菲涅尔函数
G 为双向阴影遮挡函数
4(n⋅l) 为微面元坐标系向世界坐标系变换的雅可比行列式
6. BRDF的物理性质
赫姆霍兹互反律(Helmholtz reciprocity)
能量守恒*
解释一下BRDF的能量守恒。BRDF能量遵循如下公式。
BRDF并不一定遵循能量守恒，只能保证反射出的总能量不大于入射的能量。就是说，BRDF模型发射光相比真实的物理情况可能要暗一些。
7. 其他常见的BRDF模型
Blinn-Phong，简单快速，各向同性，表达能力有限：
Cook-Torrance，复杂一些，各向同性，可以较好地表达真实材质：
Ward，复杂一些，支持各向异性：
小结&吐槽
最近几年大火的PBR，其实就是这些东西。抽丝剥茧之后，其实也蛮简单的吧。我还有一篇文章，讲得是如何在unity中编写BRDF着色器，虽然有了上面的理论基础之后，任何有基本shader基础的同学也应该都能很轻易的编写BRDF surface shader了。如果有人想看请在评论区说一下，毕竟如果到最后也没两三个人看的话，也挺没意思的。
接着是对B站专栏的一些吐槽，求尽快支持markdown啊，B站编辑器实在是难用。
