【零基础学经济Ep38】查漏补缺——数学基础（复习）+经济学概念日常梳理

因为之后几乎所有微分方程的内容都会用到类似的方法——“常数变易法”，这一周我们先给之前聊过的所有方法做一次总结，要知道，复习是学习过程中最最重要的一步哦！

接着聊曼昆书上的第四条经济学原理就好，高鸿业书上的“弹性部分”后面部分放在一周聊比较好。

本周最后一天“经济学”学习开始！——

part 1 同济《高等数学》常微分方程部分

我们今天复习之前聊过的四种常微分方程比较特殊且简单的类型——

类型一——

直接法——顾名思义，就是说，可以直接用求积分的方式，求出函数。

比如说匀变速直线运动，我们已知加速度a，求距离s和时间t的函数。

a=d^2（s）/d（t^2）=dv/dt

v=at+C1（C1是任意常数）

s=0.5at^2+C1t+C2（C1，C2是任意常数）

由于C1，C2是任意常数，所以，我们发现，这个微分方程有无数个解，类似这种解叫做常微分方程的通解。

而如果我们预先给出了C1，C2的值，那么求出来的函数被称为特解。

C1，C2被称为初值条件或者初始条件。

其实，数学更关注的是通解构成的集合的性质，可以和线性空间的知识联系起来。

类型二——

分离变量的方法——顾名思义，就是说，我们可以把所有的含x或者dx的项移到等式一边，把所有y和dy移到另外一边，而且这里面，dx和dy的关系一定是相除的关系dx/dy，dx和含x的式子，dy和含y的式子一定是相乘的形式，然后一起积分就好。

所谓dx指的是关于x的微分，我们运算的时候，可以把它看作一个数直接加减乘除。

比如说，对微分方程，dy/dx=2xy^2，我们按照上述形式进行改写——dy/y^2=2xdx，之后两边取积分即可，得到-1/y=x^2+C。

这种类型的题目，依然对不定积分的技巧积累要求比较高，常用的不定积分记得越多越好。

类型三——

齐次方程

定义一——形如dy/dx=f（x，y），等式右端的函数f（x，y）为它的变量x和y的零次齐次函数，即满足恒等式f（tx，ty）=f（x，y），则称这个方程为齐次方程。

定义二——如果微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0，满足P（x，y）与Q（x，y）都是x和y的同次齐次函数，则称这个方程为齐次方程

齐次函数——函数P（x，y）满足P（tx，ty）=t^mP（x，y），称P（x，y）为x和y的m次齐次函数。

易证明——

1. 定义一——dy/dx=f（x，y）=f（x*（1/y），y*（1/y））=f（x/y，1）=g（x/y）；

2. 定义二——P（x/y，1）/Q（x/y，1）=P（x*（1/y），y*（1/y））/Q（x*（1/y），y*（1/y））=（1/y）^mP（x，y）/（1/y）^mQ（x，y）=P（x，y）/Q（x，y），

   dy/dx=-P（x，y）/Q（x，y）=-P（x/y，1）/Q（x/y，1）=g（x/y）。

齐次方程

定义三——形如dy/dx=g（x/y）的微分方方程为齐次方程。

方法——变量替换法——令y=ux，u=y/x，是一个关于x的函数。

例子——解方程dy/dx=x+y/x-y。

1. 令y=ux，由dy/dx=（x+y）/（x-y）得到d（ux）/dx=（x+ux）/（x-ux）；

2. 由函数乘法求导法则知：u求导为u'=du/dx，x'=1；

3. 则左式=xu'+x'u=x（du/dx）+u，右式=（x+ux）/（x-ux）=（1+u）/（1-u）；

4. 左式=右式，即x（du/dx）+u=（1+u）/（1-u）——回归到变量分离的类型；

5. [（1-u）/（1+u^2）]du=（1/x）dx；

6. 两边积分得到，arctan u- ln[（1+u^2）^（1/2）]=ln |x|+C；

7. 将u=y/x代入即可。

本种类型题目难点依然在于积分这一步，常用积分要记在脑子里。

类型四——

可化为齐次方程/可分离变量的方程

定理——形如dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）的微分方方程在c=c1=0时为齐次方程，当c和c1至少有一个不为0时，可以做相关变换，使其转化为齐次方程，令——

1. x=X+h，则dx=dX；

2. y=Y+k，则dy=dY；

3. 1、2中h和k是待定的常数，所以我们要列方程组，解出它们，这部分内容，涉及到了《线性代数》里的克莱姆法则。——我们由这个方程组解的有无，来判定，这种类型的微分方程，转化的方式。

过程——

1. ax+by+c=a（X+h）+b（Y+k）+c=aX+bY+ah+bk+c，a1x+b1y+c=a1（X+h）+b1（Y+k）+c=a1X+b1Y+a1h+b1k+c；
   

2. dY/dX=（aX+bY+ah+bk+c）/（a1X+b1Y+a1h+b1k+c）；

3. 因为2中方程应该满足齐次方程的形式，故而得到方程组ah+bk+c=0且a1h+b1k+c=0；

4. 由克莱姆法则，当行列式ab1-a1b不等于0的时候，方程组有解，我们解出对应的k与h，将原方程转化为dY/dX=（aX+bY）/（a1X+b1Y）即可；

5. 由克莱姆法则，当行列式ab1-a1b=0的时候，则a1/a=b1/b=l，将l代入原方程，得到dy/dx=（ax+by+c）/[l（ax+by）+c1]；

   我们令v=ax+by，则dy/dx=（v+c）/（lv+c1）；

6. 又可得dv/dx=a+b（dy/dx），即dy/dx=（dv/dx-a）/b——y是关于x的函数；

   则dy/dx=（dv/dx-a）/b=（v+c）/（lv+c1），即dv/[（bv+bc）/（lv+c1）+a]=dx，转化为一个可分离变量的微分方程。

下周开始常微分方程的难度加深，做好准备~

part 2 经济学概念——曼昆

我们来逐一介绍曼昆《经济学原理》上的原理，曼昆的经济学的十条原理第四条：

ppl respond to incentives人们对刺激做出回应——对应高鸿烈书上原则的第二条： 人们会对激励作出反应。

曼昆举了以下几个例子说明这个问题：

1.如果苹果涨价了，那么人们可能会选择少吃苹果多吃梨，因为每一个苹果的成本增加了，而生产者会雇佣更多的工人去种植苹果，因为每一个苹果的带来的利润更大；

2.石油税高的话，人们可能就会开石油利用率更高的汽车，或者更多人会去选择公共交通工具以及住址选择离工作地点近的地方，石油税进一步升高，人们会选择混合汽车，高到一定程度，人们就会选择电动车了；

3.出台必须系安全带的法律，本意是为了交通安全：系安全带可以降低发生交通事故时，人们的死亡率，但是，因为系了安全带，人们开车反而更快更不小心，导致了，虽然交通事故人的死亡率降低了，但是交通事故总数增加了，以及，因为系安全带只能降低了车内人员的死亡率，所以随着交通事故总数的增加，路上行人的死亡率却提高了，所以这个法律对交通安全并没有什么实质性的裨益。

下周继续，大家周末加油哦！老碧得开始准备休息了！