已知实数x,y满足：x²−4xy−5y²=5，求：S=x²+2y²最小值

题一、
已知实数x,y满足：x²−4xy−5y²=5，
求：S=x²+2y²最小值

分析题目
分析题目，已知的二元二次方程，所求为二元二次代数式的最小值，从已知条件分析，因为存在交叉项X乘以Y，这个交叉项影响我们利用基本不等式放缩，据此我们需要引入双参数换元，抵消掉交叉项，最简单的策略就是 将已知的因式分解为乘积形式，将两个乘积参数化，转换为，已知二元积，求二元平方何的最值，据此分析我们来解题，

首先，将已知条件等号左边直接十字相乘法因式分解得到，
(x−5y)(x+y)=5，

此时我们引入参数P何Q，设定，
x−5y=p，x+y=q

则将X何Y都用P何Q表示出来，很容易得到
x=p+5q/6，y=q−p/6

最后代入到上述方程中得到，
pq=5，

接着我们来转换所求的代数式S，将X和Y用P和Q的代数式替换，即得到，
S=(p+5q/6)²+2(q−p/6)²

通分整理后得到，
S=3p²+6pq+27q²/36

将P乘以Q用5代入，即得到，
S=p²+10+9q²/12

此时我们就得到了典型的二元积一定，求二元平方何的最小值，那我们考察一下基本不等式，基于完全平方式的非负性，即
(√a−√b)²≥0

展开后移项即得到，a+b≥2√ab，那我们就利用这个基本不等式来放缩这个平方和，即得到，S≥2√p²·9q²+10/12

代入P乘以Q的值5，最后算得
S≥10/3，

同时求得取等号条件，p=3q，即
x=4√15/9，y=−√15/9

参考答案