证明函数极限的局部保号性；“保号性”由来
牛顿373、证明函数极限的局部保号性；“保号性”由来
大神能给我解释一下函数的保号性是什么意思吗？
或者你是怎么理解保号性的？
还有保号性在函数里的应用？——网友提问
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…保号性：见《牛顿370、371》…
…应、用、应用：见《欧几里得181》…
摆渡人宝刀君（2019-01-09，1009人赞同了该回答）：…
定理：函数极限的保号性
…定、理、定理：见《欧几里得2》…
如果lim（x→x0）f（x）=A，且A＞0（或A＜0），那么存在δ＞0，使得当0＜|x-x0|＜δ时，有f（x）＞0 [或f（x）＜0]
…lim：limit…
[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围。
v.限制；限定；限量；减量…]
…δ（希腊字母）：Delta（大写 Δ，小写 δ），是第四个希腊字母…
…0＜|x-x0|＜δ：x和x0的距离小于δ…
翻译：极限值＞0时，函数值＞0；极限值＜0时，函数值＜0。
简单来讲，就是在x趋于x0（x→x0）时，极限值存在且大于0（小于0），那么就存在一个δ邻域，这个邻域内的函数值也大于0（小于0）。
这就被称为极限的保号性。
这个定理，怎么证明呢？
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
那就需要用到极限的定义啦！
证明：函数极限的局部保号性
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
设A＞0，因为lim（x→x0）f（x）=A，
则∀（任意）ε＞0，∃（存在）δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，恒有|f（x）-A|＜ε，
即A-ε＜f（x）＜A+ε
…∀、∃：数学符号，见《牛顿309》…
…ε（伊普西龙）：希腊字母第五个字母，大写Ε，小写ε，拉丁字母的E是从ε变来…
…|f（x）-A|＜ε：f（x）和A的距离小于ε…
可取ε=A/2＞0，则f（x）＞A-A/2=A/2＞0
同理可证A＜0
翻译：极限值＞0时，函数值＞0；极限值＜0时，函数值＜0。
我们按照定义写出极限的定义表达式后，然后对这个不等式的ε进行取值。
理论上说，ε可以取任何值，只要它大于0就行。
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
大于0的ε，这个取法有很多了，比如你可以取2A，3A，4A等等，也可以取0.5A，0.3A，0.1A。
到底取哪一种呢？
这取决于你的目的是什么。
…目、的、目的：见《欧几里得195》…
你现在的目的是：为了判断“极限值大于0时的函数值是大于0、还是小于0？”，也就是判断“A-ε”的正负。
ε取A的整数倍时，A-ε为负数，ε取A的小数倍时，A-ε为正数，f（x）在这两种范围下，按照不等式“同大取大”的原则，f（x）>0。
…范、围、范围：见《欧几里得39》…
…原、则、原则：见《欧几里得198》…
…不等式“同大取大”的原则：见《牛顿372》…
{“函数极限的保号性定理是：
如果lim（x→x0）f（x）=A，且A＞0（或A＜0），那么存在δ＞0，使得当0＜|x-x0|＜δ时，f（x）＞0 [或f（x）＜0]。
重点是‘存在δ’。”现代学者说。
“就是说，找到这样一个δ，就证明了保号性定理。”现代学者接着说，“我们的目的是：找到一个满足题中所给条件的δ。”
题中所给条件：lim（x→x0）f（x）=A，A＞0→当0＜|x-x0|＜δ时，有f（x）＞0
“证明过程中，根据极限定义，ε取任意大于0的值[∀（任意）ε＞0]时，存在这样一个δ：lim（x→x0）f（x）=A，且0＜A→A-ε＜f（x）＜A+ε。”现代学者继续说，“对比题中所给条件，差异在于最后的f（x）＞0 和f（x）＞A-ε。”
“当0≤A-ε＜f（x）时，这个差异将完全消除。”现代学者最后说，“就是说：满足0≤A-ε＜f（x）的所有δ，都是满足题中所给条件的δ。”
[满足0≤A-ε＜f（x）的δ值，必然满足题中所给条件f（x）＞0 ：
0≤A-ε＜f（x）能推出f（x）＞0 。
推导过程：
按照数轴来判断：0、A-ε、f（x）是它们在数轴上从小到大的顺序，且A-ε≧0→f（x）在0右边→f（x）＞0]
“这些δ中，列出一个，就等于证明了保号性定理。”现代学者说。
“由A-ε≧0得出满足题中所给条件的δ的范围：ε≤A时，对应的δ。”现代学者接着说。
“因为ε是任意大于0的数，所以ε最终取值范围是：0＜ε≤A。”现代学者继续说。
“0＜ε≤A时，对应的δ满足题中所给条件，”现代学者最后说，“这样的ε取值有0.5A，0.3A，0.1A…证明中取值0.5A。”}
函数极限局部保号性的证明？——网友提问
“事情是这样的，我在看局部保号性的证明，证明的手段就是直接取ε=A/2，然后上网搜了好久，也找不出个所以然，只知道只要ε取能让A－ε＞0的数就行。比如ε=A/3，他们给的解释就是为了方便。问题来了，为什么ε要这样取，如果ε取2A，或者大于A的数行不行呢？”网友补充说。
Alphacalculus（2018-03-10 22:02，48 人赞同了该回答）：
意思是在x0 的某个去心邻域内有保号性，只需要证明有这么一个邻域存在就行，
ε越大，这个邻域越大；ε越小，这个邻域越小，仅此而已。
你取大了，在那个大邻域不存在保号性；取小点，在这个小范围内保号，就这样。
阿青（编辑于2021-06-25 16:57）：
先把这个翻译一下
[图]
大致意思就是，当lim（x→x0）f（x）=A时，存在x∈（x0-δ，x0+δ）使得f（x）与A同号，
…∈：数学符号，表示“属于”，见《牛顿303》…
我们只需要证明有一个区间存在就行，至于其它的区间，便不是必需的。
也就是符号保持的性质，也就是所谓“保号性”的由来。
…性、质、性质：见《欧几里得37》…
为了方便，我们当前仅对A＞0 进行讨论，实际上A＜0也是同理。
落夏（发布于2021-03-17 08:57吗，9 人赞同了该回答）：读题啊，兄弟，什么叫局部
Aurami（知行合一，编辑于 2020-05-05 15:03）：
保号性的证明看似在问δ的存在性，实则是在问ε的存在性。而所有的ε都能保证δ的存在性，故找到一个ε满足保号性即可。
理解了这段话，就可以换个问法：是否存在ε，使其对应的δ能满足保号性。
臣月（编辑于07-25 02:12，7 人赞同了该回答）：
我原来也是不懂这个问题，然后才来知乎搜索的，看了所有人的回答，还是感觉不理解，苦苦思索了很久，把大家的回答翻来覆去地读，现在感觉突然开窍了，不知道这样理解对不对，但我觉得你和我不懂的那个点应该是相同的：
就是，我们都以为要证明的是：要对任意的ε，存在δ，使得结论成立。
…结、论、结论：见《欧几里得66》…
但是其实不是，其实是只需要：存在δ，使得结论成立。
为什么这样说呢？因为保号性那个性质的文字描述就是这样说的，也就是存在一个δ，在这个去心领域，使得结论成立。并没有提到什么ε。
这就是大家的回答为什么一直都在反复强调证明的是存在性，而你一直在纠结为什么只证明有一个ε存在就行了。
难道一个ε存在就代表前面证明的时候一开始说的任意ε都成立吗？不，当然不是，只有取ε＜A的时候f（x）＞0才成立，那就是说这些ε都存在，所以存在很多个ε，但不是任意的ε都满足条件。
但是这没有什么关系，因为前面说了，我们不需要任意的ε都满足条件。
那前面证明的时候为什么要写任意ε呢？因为那个时候我们还不知道ε是取多少，但是对于|f（x）-A|＜ε这个式子来说，确实是任意的ε都成立的，所以就这样写了，然后推出后面的式子以后，我们就知道哪些ε可以使结论成立了，那就是＜A的那些，那些ε都是可以使结论成立的。反之，＞A的那些就不行。
每一个ε，都对应着一个δ。虽然不太准确，但为了便于理解，你可以这样想，ε就代表两个函数值的差，而δ就代表两个变量的差，δ可以随着ε的改变而改变。
意思就是只要存在一个ε，使得条件满足，就一定会存在一个δ，使得结论成立。而我们只需要证明存在一个δ，使得结论成立，就可以了，我们又已经知道了有很多ε都满足条件，所以随便取一个＜A的ε，如A/2，就可以完成证明。
当然，我们现在已经知道了哪些ε满足条件，所以证明的时候也可以直接把满足条件的ε（如A/2）代进去，一开始就不用写任意的ε了，也可以直接写|f（x）-A|＜A/2，然后得出f（x）＞A/2＞0，就相当于证明了其中存在的一个δ，也就得证了。
“！
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