[光线追踪] 01 -- 浅识辐射学

2022-05-17 20:19 作者:nyasyamorina 0人读过 | 我要投稿

光追实际上就是计算电磁波 (光) 在场景里传播的结果, 所以了解电磁波如何传播就是光追的核心内容, 为此需要用到辐射学的知识. (关于插图, 因为是机械盲, 完全不会用绘图软件, 所以几何图全部手绘了, 请多多包含)

辐射学名词

辐射能 Q, 单位: 焦耳 J. 关于辐射能也不需要多说什么, 不是重点.

辐射通量 $%5CPhi%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20Q%7D%7B%5CDelta%20t%7D$ , 单位: 瓦 (W, J⋅s⁻¹). 辐射通量定义为在一段时间里接收/放出的辐射能.

入射辐射通量密度 $E%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%5CPhi%7D%7B%5CDelta%20A%7D$ , 单位: W⋅m⁻². E 描述了空间上一个平面在一段时间内接收的辐射能.

出射辐射通量密度 M. 于 E 类似, 但是描述的是放出的辐射能而不是接收的.

在继续介绍之前需要说明的是, E 和 M 定义了空间上的一个平面接收/放出的 Φ, 其中这个平面不一定是物体上的平面, 可以是空间上不存在的平面, 当为后者时, E = M. 另外辐射通量密度没有方向限制, 也就是接收/放出的辐射是在所有方向上的统计, 这点需要跟下面的辐射度区别开.

辐射度 $L%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%5E2%5CPhi%7D%7B%5CDelta%20A%5CDelta%5Comega%7D$ , 单位 W⋅m⁻²⋅sr⁻¹. 其中 sr 是立体角的单位 (见下). L 是在辐射通量密度的基础上加了方向限制, 也就是只会统计符合部分方向传播的辐射通量. 当 L 的限制角度大小 ΔΩ 趋向于 0 时, 即定义了平行光, 又当限制平面大小 ΔA 趋向于 0 时, 即定义了光线, 所以光线定义为穿过无限小平面的平行光, 下文除非特殊说明, 否则统一使用 L 表示光线.

更多的立体角

如同一般的角是定义在二维空间上的方向, 立体角是定义在三维空间上的方向, 并且由两个参数给出: 天顶角 θ (范围: [0, π]) 和方向角 φ (范围: [0,2π) 或 (-π, π]) (如下图所示)

角的常用单位弧度 rad 表示角的大小 (或者角度 deg), 而立体角使用球面度 sr 表示大小. 并且, 可以用单位圆表示角, 而单位圆的周长 2π 为角的最大弧度. 类似地, 可以使用单位球表示立体角, 那么单位球的表面积 4π 为立体角的最大球面度.

在光追里有时需要讨论远处物体所占的立体角大小, 如下图所示

其中 dA 是远处物体的面积元, n 是 dA 的法线, d 是观察点到 dA 的距离, α 是 n 与观察点到 dA 连线的夹角, 那么 dA 在观察点处所占的立体角 dω 为 $d%5Comega%3Dd%5E%7B-2%7D%5Ccos%5Calpha%20dA$ , 详细推导这里就不给出了, 大概就是先求出 dA 垂直于观察点到 dA 连线的大小 cosαdA, 然后应用平方反比定理求出在单位球面上的大小 d⁻²cosαdA.

在方向角上的全积分为 $%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cint_0%5E%5Cpi%20f(%5Ctheta%2C%5Cvarphi)%5Csin%5Ctheta%20d%5Ctheta%20d%5Cvarphi$ 可以简记为 $%5Cint_%7B4%5Cpi%7Df(%5Comega)d%5Comega$ . 类似地, 在上半球方向角积分 $%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7Df(%5Ctheta%2C%5Cvarphi)%5Csin%5Ctheta%20d%5Ctheta%20d%5Cvarphi$ 简记为 $%5Cint_%7B2%5Cpi%5E%2B%7Df(%5Comega)d%5Comega$ , 这样可以节省大量重复的篇幅.

入射辐照度

考虑一束平行光以一定角度照射到平面上:

由简单的几何关系可以知道 $%5Ccos%5Ctheta%3D%5Cfrac%7BdA%7D%7BdB%7D$ , 也就是能量集中在 dB 的光线照射到平面上时会分布在面积更大的 dA 上, 把 dA 与 dB 的关系代入辐射度得到 $L_i%3D%5Cfrac%7Bd%5E2%5CPhi%7D%7BdA%5Ccos%5Ctheta%20d%5Comega%7D$ , 式中 cosθdω 表示立体角微元 dω 在 xOy 平面上的投影大小, 所以 cosθdω 成为投影立体角.

那么根据定义, 从方向 ωᵢ 入射的入射辐照度为 $dE_i(%5Comega_i)%3DL_i(%5Comega_i)%5Ccos%5Ctheta_i%20d%5Comega$ . 注意, 根据习惯, ωᵢ 定义为从平面离开的方向, 而不是进入平面的方向, 所以 -ωᵢ 为实际光传播的方向.

双向反射分布函数

为了计算辐射能在与物体碰撞后的传播, 对于不透明物体可以使用双向反射分布函数 (BRDF) 进行描述. BRDF 描述了当光线从方向 ωᵢ 入射, 并从方向 ωₒ 出射的能量分布, 如下图所示

不难知道, 出射辐射度的微元应该与入射辐射度的微元成正比, 而这个比值可以由 BRDF 给出, 即 $dL_o(%5Comega_o)%3Df_r(%5Comega_i%2C%5Comega_o)dE_i(%5Comega_i)$ , 展开得 $dL_o(%5Comega_o)%3Df_r(%5Comega_i%2C%5Comega_o)L_i(%5Comega_i)%5Ccos%5Ctheta_id%5Comega_i$ , 根据公式可以知道 BRDF 的单位为 sr⁻¹.

对 dLₒ 进行积分就可以求出出射辐射度 Lₒ, 因为 BRDF 描述的是不透明对象, 光线只从上半球射入/射出, 所以积分范围只包含上半球: $L_o(%5Comega_o)%3D%5Cint_%7B2%5Cpi%5E%2B%7Df_r(%5Comega_i%2C%5Comega_o)L_i(%5Comega_i)%5Ccos%5Ctheta_id%5Comega_i$ . 这条公式就是在光追里最核心的公式了, 它描述了辐射能如何在场景的进行传播.

另外 BRDF 还满足: 1) $f_r(%5Comega_i%2C%5Comega_o)%3Df_r(%5Comega_o%2C%5Comega_i)$ , 这个规律是反向光线追踪成立的条件 (更多内容在下一篇专栏里); 2) 多个 BRDF 的线性组合也是合格的 BRDF (只要满足能量守恒, 见下).

反射率

反射率定义为射入平面的辐射通量与射出平面的辐射通量的比值, 即 $%5Crho%3D%5Cfrac%7Bd%5CPhi_o%7D%7Bd%5CPhi_i%7D%3D%5Cfrac%7BM%7D%7BE%7D$ . 其中入射/出射辐射通量密度由 $%5Cint_%7B2%5Cpi%5E%2B%7DL(%5Comega)%5Ccos%5Ctheta%20d%5Comega$ 给出, 结合 BRDF 里讨论的内容, 可以给出: $%5Crho%3D%5Cfrac%7B%5Cint_%7B2%5Cpi%5E%2B%7D%5Cint_%7B2%5Cpi%5E%2B%7Df_r(%5Comega_i%2C%5Comega_o)L_i(%5Comega_i)%5Ccos%5Ctheta_i%5Ccos%5Ctheta_od%5Comega_id%5Comega_o%7D%7B%5Cint_%7B2%5Cpi%5E%2B%7DL_i(%5Comega_i)%5Ccos%5Ctheta_id%5Comega_i%7D$ . 在实际上, 光线被物体吸收后总有一部分能量被转化为其他形式 (比如热能), 然后再放出光线, 所以实际物体的反射率是不能达到 1 的, 即 $%5Crho%3C1$ .