【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep2】读懂数学书避不开的逻辑规律
深感昨天篇幅过长，于是从今天开始，内容精简。因为是精读，会涉及一些知识点或者人物轶事的补充，所以这个系列的进度会远远慢于阅读速度，不过我会坚持到说完三本书为止！当然，老碧在此期间不会懈怠对于数学的持续充血学习的，平心而论，当开始动笔写文章的时候，才觉得学习的乐趣更大了。而且因着日更，确实逼着我把读书走马观花，囫囵吞枣的毛病改掉许多，所以，我对坚持50天之后的成果十分乐观。
在开始正式内容之前，我们先回顾一下昨天说过的内容：
（这和自学习惯息息相关，如果是自学，一定要足够重视及时复习的重要性，如果是上课，老师会在课堂偶尔的互动，或者内容的重提中，带着你一起复习，但是自学最容易被忽略的便是复习这一个真正重要的环节。
要明白，教材的展开往往逻辑上是环环相扣的。遗失了一环，往往后面就很容易被卡住。亦或者，与老碧一样，偶尔遗忘的地方也不好好复习，靠脑补。结果跟人讲题的时候，被指定义说错了，可就尴尬咯。不过，老碧可是不要面子的哦!）
昨天说到，因为发现根号2不是有理数，于是知道除了有理数，原来数轴上还有别的类型的书，因此引出了要扩充数系的问题，而同时我们也指出，数系扩充，需要满足两个条件：
有理数有的性质它都有；
除了它和有理数没有其他类型的数了。
为了说明第一个条件，我们先要说清楚有理数天生具有的性质，于是引出了有理数的“大于和小于”，“加法和减法”，“乘法和除法”，“阿基米德公理”四节，详细介绍了有理数集上面所具有的公理。
今天我们就来详细聊聊第6小节。
要想说清楚这一小节，则不得不引入一个逻辑学上的概念，叫做，“排中律”。对应到数理逻辑里面来说，就是，事件“A”与事件“非A”，必有且仅有一件是成立的。对应到概率论里则是，对立事件，必有且仅有一件是成立的。
比如说，“老碧是人”和“老碧不是人”，总是一真一假，一个成立，另一个肯定就不成立了。
好好好，你们说的对，“老碧不是人”。
“排中律”在数学上是被普遍接受的。而有理数扩充之后实现数的完备性，这个“新数”的定义方式，无一例外用到了“排中律”。
一般实数完备性这一节，“新数”的引入方式常规有两种，实际上远远不止。
国内教材普遍选取的引入方式是用无限不循环小数，《微积分学教程》则用了一种相对而言比较古老的方式——戴德金分割。
6无理数的导入：戴德金分割，
为了定义无理数，书中定义了有理数的分划：
这个定义等于是说，拦腰切一刀，把有理数分为两段。两段没有公共元素，然而两段拼在一起就是有理数集，与此同时，从两段各任取一个数，其中一段取出的数永远比另一段取的数小。数大的那一组叫上组，数小的那一组叫下组。也因此，那一刀位置就有讲究了。书中列举了，三种可能性。
可能性a：刀痕归上组。
于是，上组有最小数。下组无最大数。
可能性b：刀痕归下组。
于是。下组有最大数。上组无最小数。
可能性c：一刀切到了根号2.
这个证明里面，可能对刚刚上大一的小朋友来说，会有点懵逼的，应该是画红线这一步。
首先这道题的思路很简单，这道题是为了证明，如此得到的分划，上组无最小有理数，下组无最大有理数。
（这里补充一点，有一类最常见的证明题，叫做存在性命题，就是证明一个条件或者数字的存在性。而存在性命题最常用的思路无外乎两种：
第一种——定性式证明，常用方法，反证法。
在这种证明思路中，我们只知道这个事物是存在的或者成立的。但是，这个东西具体是什么，我们不得而知。数列极限那一章的多数习题都是这个类型。
第二种——定量式证明，常用方法，构造法。
这种证明思路，就相对而言比较精细了，上来就是一系列操作，然后把那个你要证明存在的东西，按照那个操作先“制造”出来，再根据题目条件验证，所以一共分为，构造+验证两步。
这道证明题中，两种方法都有涉及。）
证明思路：要证下组没有最大数，即，取下组任意一个数a，在a与根号2之间还有一个其他数，我们要做的就是构造出来这个数，而这道题巧妙地利用阿基米德公理，以及,如果自然数n足够大，那么1/n可以要多小有多小，这一点常识，构造了一个不等式方程。
平方是因为我们还没有定义根号2这种数，所以我们不知道这种数满足哪些运算律。但是，平方之后，根号2就转化为了整数2，有理数集的不等式运算律我们是清楚的。
至于画红线的那一步，被称为，放缩法。
我们知道对自然数n>1，n^2>n，所以1/n>1/n^2，于是，我们把不等号左边的1/n^2换成了更大的数1/n。这个更严格的不等式如果成立，那么先前的不等式便一定会成立了。
于是对任意下组数a，我们构造了a+1/n，当n足够大的时候，这个数位于a与根号2之间。故而下组无最大有理数。同理，上组无最小有理数。
因此，分划分为三种类型。
一二又可合并为一种，它们都存在一个有最值的组。
三自成一种，上组和下组不存在最值。
所以由排中律，这两种情形构成了所有情况。
又因为，任意一个数确定一个分划。所以，由第三型的有理数分划，我们定义了一个新的数——这个数确定的有理数分划，上组没有最小值，下组没有最大值。这就是传说中的无理数。
这种定义是不是很奇妙？
老碧第一次看到这里的时候，一脸懵逼。然后卡了有小半年才看懂。最初看懂还是通过另外一本书——日本传奇数学家小平邦彦的《一元微积分》——才理解的，在那本书里，我才真正明白，戴德金分割是为了啥。其实就是一种全新的分类方式，逻辑上来说，无理数的定义方式，就是简单的不是有理数的数。
但是因为要推广验证无理数的所有性质，于是便有了戴德金分割或者无限不循环小数等等定义。这种在数学是具有操作性的定义才是真正有意义的。使感性认知跨步到了理性认知的程度。
今天先说到这里，我们晚些时候继续！
