利用同构思想简化计算（2021全国甲圆锥曲线）

2022-08-01 21:15 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2021全国甲，20）抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，焦点在 $x$ 轴上，直线 $l$ ： $x%3D1$ 交 $C$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点，且 $OP%5Cbot%20OQ$ .已知点 $M%5Cleft(%202%2C0%20%5Cright)%20$ ，且 $%5Codot%20M$ 与 $l$ 相切.

（1）求 $C$ 、 $%5Codot%20M$ 的方程；

（2）设 $A_1$ 、 $A_2$ 、 $A_3$ 是 $C$ 上的三个点，直线 $A_1A_2$ 、 $A_1A_3$ 均与 $%5Codot%20M$ 相切.判断直线 $A_2A_3$ 与 $%5Codot%20M$ 的位置关系，并说明理由.

解：（1）设抛物线的方程为 $y%5E2%3D2px$ ，

已知 $P$ 、 $Q$ 的坐标分别为

$%5Cleft(%201%2C%5Csqrt%7B2p%7D%20%5Cright)%20$ 、 $%5Cleft(%201%2C-%5Csqrt%7B2p%7D%20%5Cright)%20$ ，

故 $%5Coverrightarrow%7BOP%7D%3D%5Cleft(%201%2C%5Csqrt%7B2p%7D%20%5Cright)%20$ 、 $%5Coverrightarrow%7BOQ%7D%3D%5Cleft(%201%2C-%5Csqrt%7B2p%7D%20%5Cright)%20$ ，

由 $OP%5Cbot%20OQ$ 知 $%5Coverrightarrow%7BOP%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BOQ%7D%3D0$ ，

即 $1%5E2-%5Csqrt%7B2p%7D%5Ccdot%20%5Csqrt%7B2p%7D%3D0$ ,

解得 $2p%3D1$ ，

故 $C$ 的方程为 $y%5E2%3Dx$ ；

易知 $M$ 到 $l$ 的距离为 $1$ ，

故 $%5Codot%20M$ 的半径为 $1$ ，

故 $%5Codot%20M$ 的方程为 $%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%20%5E2%2By%5E2%3D1$ .

（2）先画个图

设 $A_1%5Cleft(%20x_1%2Cy_1%20%5Cright)%20$ 、 $A_2%5Cleft(%20x_2%2Cy_2%20%5Cright)%20$ 、 $A_3%5Cleft(%20x_3%2Cy_3%20%5Cright)%20$

因为点 $A_1$ 、 $A_2$ 在 $C$ 上，所以

$y_%7B1%7D%5E%7B2%7D%3Dx_1$ ， $y_%7B2%7D%5E%7B2%7D%3Dx_2$ ，

两式相减，得 $y_%7B1%7D%5E%7B2%7D-y_%7B2%7D%5E%7B2%7D%3Dx_1-x_2$ ，

所以 $%5Cleft(%20y_1%2By_2%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y_1-y_2%20%5Cright)%20%3Dx_1-x_2$ ，

所以 $%5Cfrac%7By_1-y_2%7D%7Bx_1-x_2%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7By_1%2By_2%7D$ ，

所以直线 $A_1A_2$ 的斜率为 $%5Cfrac%7B1%7D%7By_1%2By_2%7D$ ，

（此即点差法）

所以直线 $A_1A_2$ 的方程为

$y-y_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7By_1%2By_2%7D%5Cleft(%20x-x_1%20%5Cright)%20$ ，

整理得 $x-%5Cleft(%20y_1%2By_2%20%5Cright)%20y%2By_1y_2%3D0$

因为直线 $A_1A_2$ 与 $%5Codot%20M$ 相切，

所以 $%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%202%2By_1y_2%20%5Cright%7C%7D%7B%5Csqrt%7B1%2B%5Cleft(%20y_1%2By_2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7D%3D1$ ，

整理得

$%5Cleft(%20y_%7B1%7D%5E%7B2%7D-1%20%5Cright)%20y_%7B2%7D%5E%7B2%7D%2B2y_1y_2%2B3-y_%7B1%7D%5E%7B2%7D%3D0$ ，即

$%5Cleft(%20y_%7B1%7D%5E%7B2%7D-1%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%7B%5Ccolor%7Bred%7D%20%7Bx_2%7D%7D%2B2y_1%5Ccdot%20%7B%5Ccolor%7Bred%7D%20%7By_2%7D%7D%2B3-y_%7B1%7D%5E%7B2%7D%3D0$

同理，因为直线 $A_1A_3$ 与 $%5Codot%20M$ 相切，所以

$%5Cleft(%20y_%7B1%7D%5E%7B2%7D-1%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%7B%5Ccolor%7Bred%7D%20%7Bx_3%7D%7D%2B2y_1%5Ccdot%20%7B%5Ccolor%7Bred%7D%20%7By_3%7D%7D%2B3-y_%7B1%7D%5E%7B2%7D%3D0$

所以点 $A_2$ 、 $A_3$ 皆在直线

$%5Cleft(%20y_%7B1%7D%5E%7B2%7D-1%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%7B%5Ccolor%7Bred%7D%20%7Bx%7D%7D%2B2y_1%5Ccdot%20%7B%5Ccolor%7Bred%7D%20%7By%7D%7D%2B3-y_%7B1%7D%5E%7B2%7D%3D0$ 上，

所以直线 $A_2A_3$ 的方程即为

$%5Cleft(%20y_%7B1%7D%5E%7B2%7D-1%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%7B%5Ccolor%7Bred%7D%20%7Bx%7D%7D%2B2y_1%5Ccdot%20%7B%5Ccolor%7Bred%7D%20%7By%7D%7D%2B3-y_%7B1%7D%5E%7B2%7D%3D0$

所以，点 $M$ 到直线 $A_2A_3$ 的距离

$d%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%202%5Cleft(%20y_%7B1%7D%5E%7B2%7D-1%20%5Cright)%20%2B3-y_%7B1%7D%5E%7B2%7D%20%5Cright%7C%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cleft(%20y_%7B1%7D%5E%7B2%7D-1%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%202y_1%20%5Cright)%20%5E2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20y_%7B1%7D%5E%7B2%7D%2B1%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20y_%7B1%7D%5E%7B2%7D%2B1%20%5Cright%7C%7D%3D1$ ，

所以直线 $A_2A_3$ 与 $%5Codot%20M$ 也相切.

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