吴军数学通识-学习笔记（5）数列与级数

08｜数列和级数（一）： 当下很重要，但趋势更重要 - 得到APP (dedao.cn)

09｜数列和级数（二）：传销骗局的数学原理 - 得到APP (dedao.cn)

10｜数列和级数（三）：藏在利息和月供里的秘密 - 得到APP (dedao.cn)

数学之用

：公平地讲，很难找到某一个数学知识点，学了之后让见识马上提升，但是通过学习一些数学知识和方法，帮助我形成了系统的做事方法，并且改进了看待世界的角度，这却不是虚言。

学习数学的技巧

：通过一些关键的概念与线索把各个知识点串联起来，比如黄金分割、毕达哥拉斯定理。

为什么要研究数列

：数学研究的不是数字，而是数字之间的规律。这些规律与现实生活的一些事情相关，于是数学就能运用在我们真实的世界里了

什么是数列

：数列，其实讲的就是一个趋势。很多时候，我们不仅关心当前这个数有多大，或者我们有多少钱，多少资源，还关心明天它能变得多大，变得多快，这就是数列的意义。

斐波那契数列

最初就是描述兔子繁衍规律的，1，1，2，3，5，8，13，21，…… 虽然比不上指数增长，但也很快了，增长速率最终会趋近于黄金分割比。

现实案例：1859 年，一个名叫托马斯·奥斯汀的英国人移民来到澳大利亚，但发现澳大利亚没有兔子可打，便让侄子从英国带来了24只兔子。。。几十年后，兔子数量飙升至40亿只，在澳大利亚造成了巨大的生态灾难。

公比大于1的等比数列应用（指数爆炸）：略

公比小于1的等比数列应用

：对于等比数列，我们一般理解的是快速上涨，但是它也可能代表不断地衰减。

炒股的人有这样的经验，如果每次损失10%，用不了几次就损失一半了，具体讲，大约6次，就会损失一半，大约13次就会损失3/4。

今天用于测定年代的碳-14测定法，根据生物遗骸体内碳-14的比例，结合碳-14衰变的速率（也称为半衰期），就能算出古代生物体距今的时间。

级数

：计算数列中每一个元素之和了，这个算出来的和，被称为级数。

应用：比如说，一个刚工作的年轻人，一年挣10万元，能存20%的收入，他每年的工资增长10%。当地的房价是300万元，首付要20%也就是60万，那么他工作多少年能够付得起首付呢？

计算公式：S（N）= 2（1 + 1.1 + 1.1^2 + 1.1^3 + …… + 1.1^[N-1])，这个N最后算出来就是15年。

级数的发散性和收敛性

：当公比r>=1时，这个级数就发散，加起来无穷大。当公比r<1时，它就收敛，加起来是一个有限的数。我们在生活中，有些时候希望r>1，比如我们要传播消息，但是有些时候我们希望r<1，比如我们不希望谣言扩散，时间会让r逐步下降，这时要做的事情是千万不要挑起新的事端，火上浇油。

传销骗局

：假如张三和他所有的下线每人都发展了两个人，这样张三从各层下线挣到的钱的总数是：4000 + 1600 + 640 + …… = 6666.67元虽然看上去他从无穷多的人身上挣到了钱，可是，这挣钱的效率衰减很快。他挣的钱还没有付出的本钱多。这就是级数的收敛。

社交网络上的信息传播问题

：一条信息总是传着传着就死了。大部分公众号文章的阅读量都不过万。那么问题出在哪里呢？我们就用等比级数分析一下。。。不仅媒体如此，任何一个产品，要想成为爆款，都需要提高转发率p这个比例，也就是大家使用后满意，然后愿意主动宣传的比例。

核裂变的链式反应

：能够让链式反应维持的最小铀块体积被称为临界体积，它其实就是保证r>1的体积。原子弹的临界体积是多少起初大家并不清楚，而这又显然无法通过试验测量出来，因为搞不好就会产生核爆炸。所幸的是，奥本海默通过数学计算准确算出了这个临界体积，这才让曼哈顿计划得以成功。从这里我们又可以看到数学的预见性。

应用关几何级数的知识，分析贷款利率方面的一些注意事项。

假定你买房要向银行贷款120万，年化利率是6%，有人可能会想，利率6%，10年还清，利息就是120万x6% = 7.2万。每个月既要还本金，也要还利息，本息平摊到12个月，每个月1万本金，600利息。

今天很多P2P贷款公司，就是这么和大家算账的，一些不良中介，也是这么算钱的。这其实多交了很多的利息。那么我们每个月应该付多少钱呢？这取决于两种常见的还款方式我们采用哪一种。

两种贷款方式

：

等额本金偿付

，就是每个月还的本金数相同。在这个例子中，利息是随着本金归还后，不断减少的。..这是一个等差级数，第1个月利息是600，第2个月是，120个月加起来是123.63万。其中利息3.63万，而在前面P2P贷款错误的计算方法中，你支付了7.2万的利息.

等额本息偿付

，每个月还的本金和利息之和相同。..具体到这个例子每月要偿付本息103,279.72元，利息共支付39,356.59元。相比第一种多支付了300多元的利息，但是它的好处是前几个月的月供较低

两个原则：

借钱不要去所谓的P2P一类的机构。

永远记住“卖的人比买的人精”，不要试图贪便宜。

利率和债券投资方面的关系

：未来在中国，随着金融市场的完善，债券交易也会像股票交易一样普遍，大家都需要了解这方面的知识。而这里面核心的知识，就是复利增长的数学原理。

各国国债付

利息的方式

有两种，一种是到期后连本带息归还，还有一种是半年（或者一年）付一次利息，这时利息仍然可以再投资，就和上面一样了。

要注意是

复利还是单利

，比如要购买（复利）年息5%的10年期国债，10年后到期实际能到62.9%的利息，而理财机构可能会把他包装为（单利）年息6.29%的金融产品。

国债的

加息与减息

，加息意味着同样面值的债券实际价值的贬值，降息意味着同样面值债券的升值。比如央行的利率降低了0.5%，相应10年期国库券的利率也下调到4.5%，这时你手上那10000元的国库券，就相当于10489元新发行的国库券，等于瞬间升值了5%左右。

该笔记已整合入个人知识体系，详见 [笔记5](http://wangc.site/cbrain/share?nodeid=bbeb8a26832899a6)