实验三 曲线拟合与数据插值分析
一、 实验要求
1、掌握MATLAB多项式运算函数roots、poly、polyval、polyvalm、polyder、polyint、poly2sym等的含义和操作。
2、熟练掌握函数polyfit进行曲线拟合、nlinfit进行指定函数的拟合,并且会进行案例分析。
3、熟练掌握MATLAB的各种一维、二维和高维插值方法:interp1、interp2、spline、csape、csapi、spapi、csaps、spaps、spap2、cscvn,尤其是三次样条函数、B样条函数,并会绘制插值数据图像。
4、会读取Excel数据,会使用拟合和插值进行数据建模分析。
二、 实验内容
1、已知表达式
(1)将表达式展开为多项式形式,记变量为Px(卷积函数conv嵌套使用);
(2)将Px系数向量表示为多项式的符号形式,记为Fx,并使用函数ezplot(Fx)绘制图像;
(3)求多项式Px的全部根,记为Rx;
(4)保持当前图像,去除Rx重复根后,绘制根到图像中,使用红色实心点,大小15;
(5)细化X轴刻度为每隔单位1,范围为[-6,6];
(6)求此多项式的二阶导数Pder(嵌套函数使用),并求二阶导数在5.4、0.4586、2.587处的值;
(7)把二阶导数向量Pder转化为符号形式,并绘制到图像中,参考第(2)题;
(8)添加图例到图像中,并去除图例边框legend('boxoff');
(9)添加标题、X轴和Y轴标记信息。
参考图像如图3-1所示。

2、体重约70kg的某人在短时间内喝下两瓶啤酒后,隔一段时间测量他的血液中酒精含量(mg/100ml),得到数据如表3-1所示。要求:
表3-1 体重约70kg的某人血液中酒精含量随时间测试结果

(1)试分别用5次、7次、9次和11次曲线拟合这些数据;
(2)分别给出5次、7次、9次和11次拟合多项式的符号形式;
(3)每个曲线拟合残差模的大小;
(4)在一个图形上绘图显示每次曲线拟合效果(效果图如图3-2所示),适当修饰图像,添加必要绘图信息。

4、已知函数,取点
,计算函数值,要求:

(1)绘制原始数值;
(2)已知插值点,利用interp1插值函数求解插值,其方法分别为'nearest','linear','spline','pchip';
(3)已知外插数值,利用yw = interp1(x,y,xw,'spline','extrap')求外插值,并且绘图展示;
(4)完成图中各种属性添加,如xlabel, ylabel, title, legend等,效果图如图3-3。
5、已知某池塘,为了计算它的面积,对池塘平面图作了如下测量:以由西向东方向为x轴,由南向北方向为y轴,选择方便的原点,并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区域适当划分为若干段,在每个分点的y方向测出南边界和北边界的y坐标和
,数据如表3-2所示(单位mm)。根据地图的比例,10mm相当于40m。
表3-2 某池塘平面图测量数据点(单位:mm)

(1)利用测量数据绘制池塘平面图;
(2)利用spline函数对测量数据进行插值,其中xi = 7:1:158,绘制插值后的图像;如图3-4所示。
(3)利用求平面图形面积的数值积分方法,将该面积近似分成若干个小长方形分别求出这些长方形的面积后相加即为该面积的近似解(注意:单位的换算,结果近似值为137563平方米)。公式为

其中为上边界函数,
为下边界函数,
为在x轴上划分的步长,即插值的步长,求和函数sum。

6、在某山区(平面区域 内,单位:m)测得一些点的高度(单位:m)见表3-3,要求:
表3-3 某山区一些点的高度表

(1)分别用函数interp2(方法选择spline)和csaps(三次光滑样条)插值,绘制出该山区的地貌图;
(2)求对应点x0 = [1348,1869,3588.7,4625.8],y0 = [2145,3540.5,4121,4325.3]的高度值;
(3)给出该山区的等高线图并显示等高线值([c,h] = contourf(x,y,z) %绘制等高线图,set(h,'ShowText','on') %显示等高线数值),效果图如图3-5、3-6所示(其中蓝色点为原始测量点,红色点为所求高度点)。


7、某城市城区土壤地质环境调查数据,包括采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息数据(见件interp.xlsx),以及主要重金属Cd和Ni元素在采样点处的浓度。试根据调查数据中给出的采样点坐标和主要重金属Cd和Ni元素的浓度数据绘制空间分布图。要求:
(1)对元素Cd用散乱函数griddata插值,效果图如图3-7所示;

(2)对元素Ni用散乱函数TriScatteredInterp插值,效果图如图3-8所示。
