【种花家务·代数】2-3-04用加减消元法解二元一次方程组『数理化自学丛书6677版』

2023-11-27 15:13 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第三章一次方程组

§3-4用加减消元法解二元一次方程组

【01】从上一节用代入法解二元一次方程组的步骤中，可以看到解题的关键是要从这两个方程中设法消去一个未知数，得到一个一元一次方程。现在我们再来看上一节里做过的二元一次方程组： $%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7Dx%2By%3D8%2C%26%26%26%26(1)%5C%5Cx-y%3D2.%26%26%26%26(2)%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.$

【02】在这个方程组里，方程(1)中 y 的系数是＋1，方程(2)中 y 的系数是－1，它们是两个相反的数。因此，只要把两个方程的左右两边分别相加，就可以消去 y 而得到只含有 x 的一个一元一次方程：2x＝10，就是 x＝5 。

【03】把 x＝5 代入方程组里的任何一个方程，就可以求得 y＝3 。

【04】这种解方程组的方法，叫做加减消元法，简称加减法。

例1.用加减法解方程组：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%7B5x%2B2y%3D12%2C%7D%26%26%7B(1)%7D%5C%5C%7B3x%2B2y%3D6.%7D%26%26%7B(2)%7D%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.$

【分析】这个方程组里，y 的系数相同，所以把方程(1)和方程(2)相减，就可以消去 y 。

【解】

(1)－(2)，得 2x＝6，∴ x＝3 。

以 x＝3 代入(2)，得 9＋2y＝6，∴ y＝ $%5Cscriptsize-1%5Cfrac12$ 。

所以原方程组的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D3%2C%5C%5Cy--1%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 检验从略。

【说明】两个方程相减，求得 x 的值后，也可以用 x＝3 代入方程(1)中，求出 y 的值，结果是一样的。例如，以 x＝3 代入(1)，那末，15＋2y＝12，∴ y＝ $%5Cscriptsize-1%5Cfrac12$ 。这点与上节所讲必须代入另一个方程中去是不同的。

例2.用加减法解方程组：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%2B5y%3D6%2C%26%26(1)%5C%5C3x-6y-4%3D0.%26%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【分析】这个方程组里没有一个未知数的系数的绝对值相等，所以不能直接把两个方程相加或者相减，而消去一个未知数。但是，我们如果把方程(1)两边都乘以一个数 3，那末可以得到一个和它同解的方程 3x＋15y＝18，这个方程中 x 的系数和方程(2)中 x 的系数相同。这样就可以应用加减消元法把未知数 x 消去。

【解】

(1) × 3：3x＋15y＝18……(3)

由(2)：3x－6y＝4……(4)

(3)－(4)：21y＝14，∴ y＝ $%5Cscriptsize%20%5Cfrac23$ 。

以 y＝ $%5Cscriptsize%20%5Cfrac23$ 代入(1)，得 x＋ $%5Cscriptsize3%20%5Cfrac13$ ＝6，∴ x＝ $%5Cscriptsize%202%5Cfrac23$ 。

所以原方程组的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D2%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 检验从略。

【注】在把原方程组中的方程变形后，可加以编号。在消元时必须注意不要把方程弄错。在解题过程中，不必再把两个方程用 “{” 合写在一起。

例3.用加减法解方程组：

$%5Csmall%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Bx%7D%7B4%7D%2B%5Cdfrac%7By%7D%7B3%7D%3D%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7D%2C%26(1)%5C%5C5%5Cleft(x-9%5Cright)%3D6%5Cleft(y-2%5Cright).%26(2)%5Cend%7Bcases%7D$

【解】

由(1)：3x＋4y＝16……(3)

由(2)：5x－6y＝33……(4)

(3) × 3：9x＋12y＝48……(5)

(4) × 2：10x－12y＝66……(6)

(5)＋(6)：19x＝114，∴ x＝6 。

以 x＝6 代入(3)，得 18＋4y＝16，∴ y＝ $%5Cscriptsize%20-%5Cfrac12$ 。

所以原方程组的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D6%2C%5C%5Cy%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 检验从略。

【说明】用加减法解方程组时，先把两个方程变形，使含有未知数的项在左边，不含未知数的项在右边，并且合并同类项。

【05】从上面三个例子可以看出，用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：

（ⅰ）把两个方程变形，使含有未知数的项在左边，不含未知数的项在右边，并且合并同类项。

（ⅱ）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数的绝对值相等。

（ⅲ）把所得的两个方程的两边分别相加或者相减，消去这个未知数，得出另一个未知数的一个一元次方程。

（ⅳ）解这个方程，求得一个未知数的值。

（ⅴ）用这个未知数的值代入方程组的任何一个方程，求出另一个未知数的值。

（ⅵ）把求得的两个未知数的值用 “{” 写在一起，就是原方程组的解。

【06】为了检查计算有没有错误，可以把所求得的两个未知数的值代入原方程组，进行检验。

例4.用加减法解方程组：

$%5Csmall%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cdfrac%7Bx%7D%7B3%7D%2B%5Cdfrac%7By%7D%7B4%7D%3D2.25%2C%26(1)%5C%5C%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7By%7D%7B12%7D%3D1.45.%26(2)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【解】

整理方程(1)，得 $%5Cscriptsize%5Cfrac%20x3%2B%5Cfrac%20y4%3D%5Cfrac94$ ，就是 4x＋3y＝27……(3)

整理方程(2)，得 $%5Cscriptsize%5Cfrac%20x2-%5Cfrac%20y%7B12%7D%3D%5Cfrac%7B29%7D%7B20%7D$ ，就是 30x－5y＝87……(4)

(3) × 5：20x＋15y＝135……(5)

(4) × 3：90x－15y＝261……(6)

(5)＋(6)：110x＝396，∴ x＝ $%5Cscriptsize%203%5Cfrac35$ 。

以 x＝ $%5Cscriptsize%203%5Cfrac35$ 代入(3)，得4× $%5Cscriptsize%20%5Cfrac%7B18%7D5$ ＋3y＝27，∴ y＝ $%5Cscriptsize%204%5Cfrac15$ 。

所以原方程组的解是 $%5Cscriptsize%5Cleft.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D3%5Cdfrac%7B3%7D%7B5%7D%2C%5C%5Cy%3D4%5Cdfrac%7B1%7D%7B5%7D.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$ 检验从略。

【说明】本题中既有分数又有小数，所以先把小数化成分数： $%5Cscriptsize2.25%3D2%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D$ ； $%5Cscriptsize1.45%3D1%5Cfrac%7B45%7D%7B100%7D%3D1%5Cfrac%7B9%7D%7B20%7D%3D%5Cfrac%7B29%7D%7B20%7D$ 。否则去分母时就显得麻烦。

习题3-4

用加减法解下列各方程组(1~16)：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cleft.1.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D3x%2B2y%3D3%2C%5C%5C3x-2y%3D1%E3%80%82%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.2.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D2x%2By%3D5%2C%5C%5C3x-y%3D15%E3%80%82%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.3.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%26x%2B3y%3D33%2C%5C%5C%262x-y%3D-4.%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.4.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D2y-3z%3D8%2C%5C%5C7y-5z%3D-5.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.5.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bgathered%7D2x%2B5z%3D25%5Ctext%7B%2C%7D%5C%5C4x%2B3z%3D15.%5Cend%7Bgathered%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.6.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%2612x%2B21y%3D15%2C%5C%5C%2616x-14y%3D6.%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.7.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D7x-3y%2B1%3D0%2C%5C%5C4x-5y%3D-17.%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.8.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D3x-4y%2B11%3D0%2C%5C%5C3y-4x%2B53%3D0.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.9.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D4(x%2B2)%3D1-5y%2C%5C%5C3(y%2B2)%3D3-2x.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.10.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%263(x-1)%3D4(y-4)%2C%5C%5C%265(y-1)%3D3(x%2B5)%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.%5Cright.%5C%5C%0A%26%2611.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%20y2%2B%5Cdfrac%20z3%3D13%2C%5C%5C%5Cdfrac%7By%7D3-%5Cdfrac%20z4%3D3.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2612.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7B2x%7D%7B3%7D%2B%5Cdfrac%7B3z%7D%7B4%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5C%5Cdfrac%7B4x%7D%7B5%7D%2B%5Cdfrac%7B5z%7D%7B6%7D%3D%5Cdfrac%7B7%7D%7B15%7D.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2613.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Bx%2By%7D2%2B%5Cdfrac%7Bx-y%7D3%3D6%2C%5C%5C4(x%2By)-5(x-y)%3D2.%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%2614.%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cdfrac%7Bm%2Bn%7D3-%5Cdfrac%7Bn-m%7D4%3D-0.46%2C%5C%5C4m%2B%5Cdfrac34n%3D-2.59.%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

15、 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7B5%7D%3D%5Cfrac%7Bx-y%7D%7B3%7D%3D2$ 。[提示：可以取任意两式相等，组成方程组.例如 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%2By%7D%7B5%7D%3D2$ 与

$%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx-y%7D%7B3%7D%3D2$ ]

$%5Csmall%5Cleft.16.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7B(x%2B3)(y%2B5)%3D(x%2B1)(y%2B8)%2C%7D%5C%5C%7B(2x-3)(5y%2B7)%3D2(5x-6)(y%2B1).%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.$

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%3B%5Cend%7Bcases%7D2.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D4%2C%5C%5Cy%3D-3%3B%5Cend%7Bcases%7D3.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D3%2C%5C%5Cy%3D10%3B%5Cend%7Bcases%7D4.%5Cbegin%7Bcases%7Dy%3D-5%2C%5C%5Cz%3D-6%3B%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.5.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D0%2C%5C%5Cz%3D5%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.6.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C%5C%5Cy%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.7.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D2%2C%5C%5Cy%3D5%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.8.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D35%2C%5C%5Cy%3D29%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5C%0A%26%269.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-3%2C%5C%5Cy%3D1%3B%5Cend%7Bcases%7D10.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D5%2C%5C%5Cy%3D7%3B%5Cend%7Bcases%7D11.%5Cbegin%7Bcases%7Dy%3D18%2C%5C%5Cz%3D12%3B%5Cend%7Bcases%7D12.%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D-1%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%5Cz%3D2%3B%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%0A%26%26%5Cleft.13.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D7%2C%5C%5Cy%3D1%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cright.14.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dm%3D-1.24%2C%5C%5Cn%3D3.16%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.15.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D8%2C%5C%5Cy%3D2%3B%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.16.%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D3%2C%5C%5Cy%3D1.%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

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