视频 BV1j54y1h7G1 解析
题9.
α∈(0，π)
sinα＞0
sinα+cosα=1/5
sin²α+cos²α=1
即2sinαcosα＝-24/25
即sinα-cosα＝7/5
即sinα=4/5
cosα=-3/5
即tan(α/2)
＝sinα/(1+cosα)
＝2
即原式
=-3
ps.
视频中
试值求值
无伤大雅
而不采用
半角公式
求具体值
采用估值
储备要求高
适用面窄
化简为繁
偏离了命题者
命题初衷
望诸君
勿被
那条
发视频的
误导
题10.
视频中
提到的
定理1.
若椭圆与双曲线
离心率分别为e1，e2
P为椭圆与双曲线交点
∠F1PF2=θ
有
sin²（θ/2）/e1²+cos²（θ/2）/e2²=1
证明如下
设半长轴与实半轴分别为a1，a2
PF1＞PF2
有
PF1=a1+a2，PF2=a1-a2
e1＝c/a1，e2=c/a2
cosθ
=（（a1+a2)²+（a1-a2)²-4c²)
/（2（a1²-a2²）)
=（a1²+a2²-2c²）
/（a1²-a2²）
故（a2²-a1²)cosθ
=2c²-（a1²+a2²）
即c²/a1²+c²/a2²
+（a2²-a1²）c²cosθ/（a1²a2²）
=2c^4/（a1²a2²）
即e1²+e2²+（e1²-e2²)cosθ
=2e1²e2²
即（1-cosθ）/（2e1²)+（1+cosθ）/（2e2²）=1
即sin²（θ/2）/e1²+cos²（θ/2）/e2²=1
得证
ps.
视频中
θ=π/2
即
1/e1²+1/e2²=2
定理2.
若过焦点直线与x轴所成角为α
椭圆离心率为e
有
ecosα=（n-1）/（n+1）
证明如下
BF2＞AF2
BF2=nAF2
有BF2=ep/（1-ecosα）
AF2=ep/（1+ecosα）
即n=（1+ecosα）/（1-ecosα）
即ecosα=（n-1）/（n+1）
得证
ps.
上述
二则定理
当以记之
题12.
视频中
提到的定理
若f(x+a)＝f(x)-f(x-a)，a≠0
则f(x)为以6a为周期的函数
证明如下
f(x+6a)
＝f(x+5a)-f(x+4a)
＝f(x+4a)-f(x+3a)-(f(x+3a)-f(x-2a)）
＝f(x+4a)-2f(x+3a)+f(x-2a)
＝f(x+3a)-f(x+2a)-2f(x+3a)+f(x-2a)
＝-f(x+3a)
＝f(x+a)-f(x+2a)
＝f(x+a）-f(x+a)+f(x)
＝f(x)
即f(x)为以6a为周期的函数
得证
ps.
视频中
f(x)＝f(x-1)-f(x-2)
即f(x+1)＝f(x)-f(x-1)
即a=1
即T
＝6a
=6
ps.
新朋友详见
