从上图可以看出，随着点数的增加，拉格朗日插值中的Li(x)在计算机程序中需要重新计算。

为了解决这个矛盾，提出了牛顿插值法，还是先考虑两个点：

上述过程显而易见，再考虑三个点

上述过程也不存在困难，而那些待定系数就是所谓的n阶差商：

这个一阶差商很好理解，其实就相当于两个点之间求导数。

对于上面的二阶差商，考虑下面图形：

在图1中取三个点，先求出第1，3两个点之间的差商（一个数），然后求出求出第1，2两个点之间的差商（另一个数），再把求出的这两个数连起来，求出它们的导数（分母是第3个点减去第2个点，也就是最后两个点的距离）。

同样，如果是三阶差商，那就先把（1，2，4）和（1，2，3）这两组数的二阶差商求出来，然后把求出来的这两个数连起来，再求它们的导数，分母同样是最后两个点之差。以此类推。由此得出n阶差商表达式：

下面推导所求目标函数的表达式：

通项为：

通项中有几个注意的地方：

1：方程右边每一项的差商部分，除最后一项的差商之外，都不包含未知数x,也就是说，除最后一项的差商之外的其它差商，都是可以求出来的。

2：方程右边的每一个乘积项都包含x。

3：方程右边的n阶差商对应n个乘积项。

再把图2的通项和泰勒级数比较：

会发现两者形式上很像，事实上：

如果 f(x) 在 [a,b] 上存在 n 阶导数，且 xi∈[a,b],i = 0, 1, ..., n ，则