获诺贝尔奖的复杂系统究竟是什么？
2021年10月5日17时49分（北京时间），瑞典皇家科学院宣布，2021年度诺贝尔物理学奖授予美籍日裔科学家真锅淑郎（Syukuro Manabe）、德国科学家克劳斯·哈塞尔曼（Klaus Hasselmann）和意大利科学家乔治·帕里西（Giorgio Parisi），以表彰他们“对我们理解复杂物理系统所作出的开创性贡献”。
复杂系统是什么，我们该怎样理解它？所有复杂系统都由许多不同的相互作用部分组成。几个世纪以来，物理学家一直在研究它们，这些很难用数学方法来描述——它们可能被大量的因素影响或者受随机因素的支配。
或许大家已经从各个科普书籍那里听说了混沌，非线性等等词汇
或许大家已经知道南美洲的蝴蝶的翅膀振动，可能会引起北美的飓风
... ...
可是我相信大家一定不满足于这些笼统的描述
今天，我将尝试用最容易理解的模型，动手给大家构建一个最简单的混沌系统。
这个过程会涉及一定量的计算，基础不错的高中生和大学生可以尝试阅读计算部分，而其他读者可以只了解物理学图像即可。
把一个小球悬挂在线上，绳子和小球构成的系统就称为单摆，自由下垂时时，物体受合力为0，处于平衡状态，此时小球所处的位置就是平衡位置，如果把小球略加移动后释放，根据初中物理学，重力的分力便有指向平衡位置，迫使小球返回平衡位置。
高中物理告诉我们，在摆角很小的情况下，回复力和小球的偏角θ成正比，也就是F=mgθ。这样，通过我们在高中就学过的牛顿第二定律，我们可以列出小球的动力学方程
-mgθ=ml
令
代入上式，得
我们在软件中把这个表达式的图形画出来，可以看到，小球的振动规律十分简单：小球相对平衡位置的位移是按正弦（或余弦）规律随时间变化的，这种运动叫做简谐振动。
现在我们加大一些难度，考虑震动过程中，由于空气而引发的摩擦阻力。物理学研究发现，空气对小球的阻力与物体的运动速度有关，在小球速度不太大时，阻力与速度大小成正比，方向总是和速度相反，也就是
式中的γ称为阻力系数，它是由物体和空气的性质决定的。在考虑阻力的情况下，小球的动力学方程复杂化了，变成了
令
则方程化为了
解得
我们取ω=1,δ=0.05，得到下面的函数图像
即使你不会解微分方程，也应该能够理解这波形图，他表示在阻力的作用下，小球的振幅越来越小，逐渐趋于静止。
事实上，图像的形状会随着摩擦力的增大而发生很大的变化，这里为了方便阅读，我们只计算了摩擦力很小时，物体振幅逐渐减小的情况。
现在让我们再增加难度：
之前我们考虑的系统里只有一个绳子和一个小球，而现在，假设还有第三者对小球施加一个驱动力——你可以理解为整个桌面因为楼上正在装修或者楼下的小孩捣乱之类的原因振动，并且我们假设这个驱动力也是按照正（余）弦函数规律变化的，它的表达式是：
F=F0cos ωdt
这时，物体受到三个力的作用：回复力，摩擦力和驱动力，微分方程变成了二阶常系数非齐次线性方程。
仍然令
则化成了
解这个方程确实需要花费一点时间，我们把它解出来，得到下面的式子
尝试代入数值，设常数ω=1，δ=0.1,ωd=2.1,F0/m=2，则解的图像时长这个样子的：
这个式子看起来十分复杂，在开始的一小段，物体似乎没有规律的振动，而后才显示出它的规律。这波形的物理学意义也很明确：在一开始，小球同时受驱动力和初始振动的作用，随着时间的增加，初始振动逐渐被削弱，而驱动力最终主导小球的振动。
此时此刻，我们离混沌只有一步之遥了。
还记得一开始我们说，只有在摆角θ很小的时候，回复力才和摆角呈正比吗？在不进行近似的情况下，回复力和摆角的关系是正弦函数，这时，运动学方程变成
+2δ +ω2sin = cosωdt （11）
让我们代入几个常数，求这个方程的数值解。
当我们取ω=2，δ=0.05,ωd=6,F0/m=4时，非线性方程随着初始条件的不同，解答如下
图中，不同颜色的曲线表示初始条件不同的方程的解，可见，即使初始条件略有不同，方程的解也相差很大。
当然，混沌之中也有规律，我们试着把反应空气阻力的系数δ调大，设置成0.25，再进行计算，得到的解似乎又有了规律性
在我看来，这次物理学奖颁发给复杂物理系统，在物理学和社会的联系上，是具有里程碑意义的。在公众看来，物理学，数学等等基础科学似乎天然存在某些限定：他们虽然足够精确，但是只能解决一些简单的，甚至有些脱离实际的问题。但是，万事万物都有他们的底层原理，正如神经反射可以被还原成电信号和神经系统，进而归结为粒子间的相互作用那样，我相信基础科学可以还原世界上的一切问题。对复杂系统的研究，打破了自然和计算，甚至是物理与社会之间的隔阂，它吹响了一记冲锋号：物理的最终目标是解释一切。
计算推导 文案 绘图：心随梦转（bilibili）
输入与美化：歪歪歪Y（bilibili）
参考软件：WolframAlpha Geogebra（iOS）
