【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep46】一个有意思的小知识点：Stolz公式

这个公式应该是实数理论之后，遇到的第一个证明稍微有些复杂的公式，并且其中有一步配凑的方法和思路如果没遇到过，不是太容易想到，老碧会标注出来。

这个公式本身对于解决数列的不定式，又是极其十分好用的，所以有可能的话，这个公式最好尽可能地牢牢记住。

之后的内容直到Ep50应该都不会遇到什么特别难的证明了。

33Stolz公式

Stolz公式如下——

1. 对于∞/∞型的“不定式”xn/yn，其中——

2. 存在自然数N"，使得n>N"时，yn是单增数列，即，yn+1>yn；

3. 在已知lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]为有限值或趋向于无穷的情况下；

4. 公式lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn/yn-1）]成立。

其中1~3是条件，4是结论。

显然这个公式具有以下特点——

1. 适用于∞/∞型的“不定式”xn/yn；

2. 对于n>N"，分母yn是单增数列，则，yn-yn-1>0；

3. 由2，yN"+1-yN">0，yN"+2-yN"+1>0，……，yn-yn-1>0；

4. 由3，不等式各项左右相加，yn-yN”>0。

其中3、4是证明中需要用到的条件之一。

因为是从lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]的值得到lim（xn/yn）的值，我们最重要的是在（xn-xn-1）/（yn-yn-1）与xn/yn这两个式子之间建立联系。

条件中指出了极限的可能性为有限或者无穷，不妨分类讨论——

1.lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=l——趋向于有限值。

1. 由数列极限的定义——lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=l，即对于任意e>0，存在自然数N'，使得n>N'时，|（xn-xn-1）/（yn-yn-1）-l|<e，即l-e<（xn-xn-1）/（yn-yn-1）<l+e；

2. 我们已知条件，存在自然数N"，当n>N"，yN"+1-yN">0，yN"+2-yN"+1>0，……，yn-yn-1>0；

3. 由1、2，令N=max{N'，N"}，当n>N时，（l-e）（yn-yn-1）<（xn-xn-1）<（l+e）（yn-yn-1），即（l-e）（yN+1-yN）<（xN+1-xN）<（l+e）（yN+1-yN），（l-e）（yN+2-yN+1）<（xN+2-xN+1）<（l+e）（yN+2-yN+1），……，（l-e）（yn-yn-1）<（xn-xn-1）<（l+e）（yn-yn-1）；

4. 3中各式同侧相加，不等号依然成立，消去相同项，得到：（l-e）（yn-yN）<（xn-xN）<（l+e）（yn-yN），即|（xn-xN）/（yn-yN）-l|<e；

5. 由此我们得到一个与xn/yn相关的新的数列极限lim [（xn-xN）/（yn-yN）]=l；

6. 我们做一个简单的变换即可得到，令xn/yn-l= [（yn-yN）/yn][（xn-xN）/（yn-yN）-l]+A/yn；

7. 我们用待定系数法求A，6中左边=xn/yn-l=（xn-ynl）/yn，右边= [（yn-yN）/yn][（xn-xN）/（yn-yN）-l]+A/yn=（xn-xN+A）/yn- （yn-yN）l/yn=[（xn-xN+ A）-（yn-yN）l] /yn；

8. 由7，左边=右边，即xn-ynl=（xn-xN+ A）-（yn-yN）l，即0=（-xN+ A）+yN* l ，则A=xN-yN* l ；

9. 由6、8得到，xn/yn-l= [（yn-yN）/yn][（xn-xN）/（yn-yN）-l]+A/yn= [（yn-yN）/yn][（xn-xN）/（yn-yN）-l]+（xN-yN* l）/yn= （1-yN/yn）[（xn-xN）/（yn-yN）-l]+（xN-yN* l）/yn；

10. 9中式子分两项，我们逐项分析——

    a.所有下标含N的字母都为常数，l为常数，{yn}为无穷大，我们得到——

    b.lim（1-yN/yn）=1，lim [（xN-yN* l）/yn]=0；

    c.由极限运算性质可得：lim（xn/yn-l）=lim{（1-yN/yn）[（xn-xN）/（yn-yN）-l]+（xN-yN* l）/yn}=lim（1-yN/yn）lim[（xn-xN）/（yn-yN）-l]+lim [（xN-yN* l）/yn]=lim[（xn-xN）/（yn-yN）-l]=lim[（xn-xN）/（yn-yN）]-l=0；

11. 即lim（xn/yn）=l，得证。

其中蓝字部分是难点！

2.lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=+∞——趋向于无穷——负无穷可由正无穷直接推得——

1. 由数列极限的定义——lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=+∞，即对于任意E>0，存在自然数N'，使得n>N'时,（xn-xn-1）/（yn-yn-1）>E>0；

2. 我们已知条件，存在自然数N"，当n>N"，yN"+1-yN">0，yN"+2-yN"+1>0，……，yn-yn-1>0；

3. 由1、2，令N=max{N'，N"}，当n>N时，（xn-xn-1）>E（yn-yn-1）>0，即（xN+1-xN）>E（yN+1-yN），（xN+2-xN+1）>E（yN+2-yN+1），……，（xn-xn-1）>E（yn-yn-1）；

4. 3中各式同侧相加，不等号依然成立，消去相同项，得到：（xn-xN）>E（yn-yN），即xn>Eyn-EyN+xN；

5. 已知{yn}为正无穷大量，则易证{Eyn-EyN+xN}也是正无穷大量，所以{xn}也是正无穷大量；

6. 又由3，（xn-xn-1）>0，{xn}单增；

7. 由1、5、6：lim（yn/xn）=lim [（yn-yn-1）/（xn-xn-1）]=0；

8. 由5、7，lim（xn/yn）=+∞。

推论——lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=-∞的情形：

1. 由数列极限的定义——lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=-∞；

2. 构造数列{zn}，其中zn=-xn，则lim [（zn-zn-1）/（yn-yn-1）]=lim{ [（-xn）-(-xn-1）]/（yn-yn-1）}=-lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=+∞；

3. 所以lim（zn/yn）=+∞；

4. lim（xn/yn）=-∞。

明天讲Stolz公式的习题！