数学的公理化方法：逻辑学方法在数学中的直接应用

伽利略77、数学的公理化方法：逻辑学方法在数学中的直接应用

 

数学（百度百科）：

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

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数学的公理化方法实质上就是逻辑学方法在数学中的直接应用。

…公、理、公理，化，方、法、方法，公理化方法：见《欧几里得1~3》…

…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…

…逻辑学：见《欧几里得66~69》…

…应、用、应用：见《欧几里得181》…

 

在公理系统中，所有命题与命题之间都是由严谨的逻辑性联系起来的。

…系、统、系统：见《欧几里得37》…

…严、谨、严谨：见《欧几里得155》…

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

 

从不加定义而直接采用的原始概念出发，通过逻辑定义的手段逐步地建立起其它的派生概念；由不加证明而直接采用作为前提的公理出发，借助于逻辑演绎手段而逐步得出进一步的结论（即定理）；然后再将所有概念和定理组成一个具有内在逻辑联系的整体（即构成了公理系统）。

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

…概、念、概念：见《欧几里得21~23》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

…演、绎、演绎：见《欧几里得103》…

…结、论、结论：见《欧几里得66》…
…定、理、定理：见《欧几里得2》…

…联、系、联系：见《欧几里得149》…

 

严谨是数学证明中很重要且基本的一部分。

…基、本、基本：见《欧几里得2》…

 

数学家希望他们的定理以系统化的推理、依着公理被推论下去。这是为了避免依着不可靠的直观，从而得出错误的“定理”或“证明”，而这情形在历史上曾出现过许多的例子。

…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…

…推、理、推理：见《欧几里得12》…

…推、论、推论：见《欧几里得66》…

…历、史、历史：见《欧几里得111》…

 

在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同：希腊人期许着仔细的论点，但在牛顿的时代，所使用的方法则较不严谨。牛顿为了解决问题所作的定义，到了19世纪才让数学家用严谨的分析及正式的证明妥善处理。

…分、析、分析：见《欧几里得36》…

 

数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度。

当大量的计算难以被验证时，其证明亦很难说是有效地严谨。

 

简史

 

数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。而东西方文化也采用了不同的角度：欧洲文明发展出几何学，中国则发展出算术。

…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…

 

第一个被抽象化的概念大概是数字（中国的算筹），其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。除了认知到如何去数实际物件的数量，史前的人类也了解如何去数抽象概念的数量，如时间——日、季节和年。算术（加减乘除）也自然而然地产生了。

…认、知、认知：见《欧几里得105》…

…思、想、思想：见《欧几里得154》…

…数、量、数量：见《伽利略39、40》…

…时、间、时间：见《伽利略10》…

古时，数学内的主要原理是为了研究天文，土地粮食作物的合理分配，税务和贸易等相关的计算。数学也就是为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。

…原、理、原理：见《欧几里得41》…

…研、究、研究：见《欧几里得42》…

…关、系、关系：见《欧几里得75》…

…测、量、测量：见《欧几里得179》…

…结、构、结构：见《欧几里得41》…

…空、间、空间：见《伽利略10》…

 

西欧从古希腊到16世纪经过文艺复兴时代，初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备，但尚未出现极限的概念。

…代、数、代数：见《欧几里得36》…

…初等代数：是古老的算术的推广和发展。在古代，当算术里积累了大量的关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各类数量关系的问题，就产生了以解代数方程的原理为中心问题的初等代数…

（…方、程、方程：见《伽利略53》…）

…三角学：指以“研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用”为目的一门学科。同时，三角学还研究三角函数的性质以及它们的应用…

（…基、础、基础：见《欧几里得37》…

…函、数、函数：见《欧几里得52》…）

 

…极、限、极限：见《欧几里得178》…

 

“数学中的一些美丽定理具有这样的特性： 它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。数学是科学之王。——高斯

请看下集《伽利略78、经典力学，集合论，数理逻辑，数学名言》”

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