2023数分Day1（迫敛性与积分法）

一、整体：

1、学会定积分定义、熟练运用迫敛性。

2、根据不同函数想到不同方法.

比如说乘法想到取自然对数，比如说加法可能想去凑定积分

二、需要学习、复习的

1、Σk^2=?（两种方法求解）

法一：

注：中间一步用到了强化1.4/Day2的递推数列的类型五！！好好复习（下为手写步骤）

法二：

三、具体题目

1【太原理工】

（法一）观察式子，是乘法，想到取自然对数，

再利用重要不等式x-1/2*x^2<ln(1+x)<x(x>0).

然后令x=k/n^2,

然后两边关于k求和，

注意到使用级数求和Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6.

再两边使用迫敛性，所以得到最后取对数的极限为1/2，所以原极限为e^(1/2)

(法二）基本思路差不多，只不过这里用了一下拉格朗日中值定理，

然后得到x/(1+x)<ln(1+x)<x。

然后同样地令x=k/n^2,

然后两边关于k求和，两边放缩，

把k放缩，得到两边极限为1/2.

由迫敛性得到极限为1/2，

最后原极限为e^(1/2)

2【北京科大、南昌大学】

看到极限不是乘法形式，是加法，想到去凑定积分的形式

所以弄一个1/n出来。然后写成定积分形式，

然后求定积分过程中用到了三角函数换元，

最后得出结果是ln(根号2+1）

3【西北大学】

这道题中既有定根号下乘积，所以想到取对数，

同时也可以转化成定积分，得到极限为ln4/e，

于是原极限为4/e.

4【南京大学】

观察式子，非乘积，所以不去取对数，想着去凑定积分的定义式，

但是发现没有1/n,然后去凑一个1/n出来，

但分母出现了1/nk，这个k不方便，所以我们去放缩，k一个放成1，一个放成n，

然后这两个关于k求和转换成定积分来做，得到的极限都是4/ln5，

于是利用迫敛性得到这个极限的值为4/ln5