在数学中，有一个公式被称为“世界上最美的公式”，它联系了五个最基本的数：自然对数的底数e（2.71828...），圆周率pi（3.1415926...），虚数单位i，自然数1和0。

这就是欧拉恒等式

其实欧拉恒等式是一个公式的特殊情形，我们把这个公式称为欧拉公式

下面我们尝试用泰勒展开（麦克劳林公式）去证明这两个公式。

先介绍一下泰勒展开（不涉及推导）：

如果函数f(x)在x0处有n阶导数，那么存在x0的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有：

f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)^2/2!+...+f＾(n)(x0)(x-x0)＾n/n!+o((x-x0)＾n)

其中o((x-x0)＾(n))是比(x-x0)＾(n)高阶的无穷小，特别的，取定x0=0，则x-x0=x，那么得到泰勒展开的特殊情况——麦克劳林公式：

f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’(0)x^2/2!+...+f＾(n)(0)x＾n/n!+o(x＾n)

而当函数f(x)在x0处有无穷阶导数时，麦克劳林公式可以写成

f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’(0)x^2/2!+...+f＾(n)(0)x＾n/n!（n趋近于无穷大）

此公式利用多项式去近似表达了一些复杂函数，因此，我们可以将一些数和函数联系起来（比如今天的例子欧拉公式）

在高中我们学过，e的x次方的导函数仍为e的x次方，对其再求一次导，就得到e的x次方的二阶导函数——仍然是e的x次方，如此就可以推出e的x次方的n阶导函数始终为e的x次方。

还有，正弦函数sinx的导函数为cosx，对cosx再求一次导，就可以得到sinx的二阶导函数-sinx，如此我们可以推导出sinx的三阶导函数为-cosx，四阶导函数为sinx，不难发现，正弦函数的n阶导函数是有规律的，同样余弦函数也具有类似性质。

整理一下，我们就得到

将以上结果带进麦克劳林公式，我们就得到

比较三式，可以发现sinx+cosx展开后的表达式和e的x次方展开后的表达式形式差不多，只是有一些项的符号不一样。也就是说，如果我们将这些符号的差异也通过某种方式消除掉，那么就可以将三角函数和指数函数联系在一起，我们令x=ia，则

如此，我们就证明了欧拉公式，取定a=pi时，cosa=-1，sina=0，那么就可以得到e的i*pi次方等于-1+i*0，即e的i*pi次方等于-1，移项，就可以得到欧拉恒等式：e的i*pi次方+1=0。

多么漂亮，多么简洁，多么优雅！