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第二章 导数与微分

第五节 函数的微分

一、微分的定义

概念——

• 微分：设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这区间内，如果增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，可表示为Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是不依赖于Δx的常数，那么称函数y=f(x)在点x0是可微的，而AΔx叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy=AΔx。

二、微分的几何意义

含义：对于可微函数y=f(x)而言，当Δy是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量，当|Δx|很小时，|Δy-dy|比|Δx|小得多，因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似替代曲线段。

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

a.基本初等函数的微分公式

b.函数和、差、积、商的微分法则

c.复合函数的微分法则

设y=f(u)及u=g(x)都可导，则复合函数y=f[g(x)]微分为——

四、微分在近似计算中的应用

a.函数的近似计算

工程上常用的近似公式

b.误差估计

概念——

• 间接测量误差：由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会由误差，我们把它叫做间接测量误差。

• 绝对误差：如果某个量的精确值为A，它的近似值为a，那么|A-a|叫做a的绝对误差。

• 相对误差：绝对误差与|a|的比值|A-a|/|a|叫做a的相对误差.

• 绝对误差限：如果某个量的精确值是A，测得它的近似值是a，又知道它的误差不超过δA，|A-a|<=δA，那么δA叫做测量A的绝对误差限。

• 相对误差限：δA/|a|叫做测量A的相对误差限。