2023阿里巴巴全球数学竞赛预选赛题/决赛部分题个人解 (二)

预选赛题 5.

(1) 这是容易的，只要考虑对角线全为 ，其它元素全为  的矩阵，其行列式为 。如果  为奇数则任意调换矩阵的两行即可。

(2) 先来说明怎么将  矩阵的行列式问题转换为  矩阵的行列式问题：对于  的  矩阵 ，我们考虑如下的步骤：

1. 将其变为 ；

2. 构造矩阵 ，其行列式与   相同；

3. 将第  行都加上第一行，得到 ，其中  为所有元素全为  的  阶方阵。那么 。
   

现在对  直接写  不等式，得到 ，则对应的 。分别代入 ，它们都满足 。

(3) 本问赛时我没有任何思路，直接抄的如下论文：Clements, G. F., & Lindström, B. (1965). A Sequence of (±1)-Determinants with Large Values. Proceedings of the American Mathematical Society, 16(3), 548–550.

后来发现可以用概率方法做。具体来说考虑随机矩阵 ，其中每个元素都等可能地取  或 。写出行列式的定义

其中 ，则根据期望的线性性质有

因此当  充分大时，存在某个  使得 ，对应的 。当  时容易比较 。

预选赛题 6.

1. 高中题，直接取  并注意到  即可得到 。

2. 如果这样的  存在，令 ，则  是方程  的两根。记 ，其中  为整数，，则 。而

且  充分大时 ，因此 ，这样  就能表示为 。

此时再次写出 。由于 ，因此 。但此时 ，矛盾。因此这样的  不存在。

实际上直接抄  定理证明也可以，不过对这个问题来说多少有点小题大做。