2023阿里巴巴全球数学竞赛预选赛题/决赛部分题个人解 (一)

写毕设的时候写不下去了偶然参了一下赛，竟然混进了决赛。于是想着把预选赛个人解写一下，结果拖到决赛了才想起来......总之写一篇专栏测试一下专栏插入公式，顺便算是留个档。

以下完成情况不代表赛时完成情况。

预选赛题 1.

答案为 (B)。赛时根本没思考，直接扔 Matlab 秒了。

下面简单人手分析一下。作因式分解：

写 ，，可以得到  的单调性（也即  的正负）如下表所示：

开始时 ，此时  严格增大到 。我们希望 ，此时解得 ，因此 (A) 错误。

接下来 。如果 ，此时 ，因此球状闪电的半径会减小到 ，然后保持不变，此时球状闪电不会消失，因此 (C)(D) 均错误。

预选赛题 2.

答案为 (A)(B)(C)(D)。赛时没太想明白，一直在考虑把大八面体搞成正八面体及其变体做，没有想过其实八面体可以有顶点度数为 ，寄了。

本题我知道的结论是

• 若记  为  的最大值，则 。

证明 (?). 首先说明  可以无限接近于 ：考虑一条线段 ，将八面体  的  个顶点放在很靠近  的地方，剩下的  个顶点全部放到很靠近  的地方，此时 ；将八面体  的  个顶点放在  附近， 个顶点放在  附近，此时 。显然只要适当放大一点  就能将  放在  内部，此时 。

下面说明 ：事实上， 的每条棱长度都不超过 。这是因为，我们注意到对于  的任意一条棱 ，一定存在  上的棱  使得 。因此对  上的任意两个顶点 ，经过  的棱一定存在四条由  到  的路径使得这些路径都使用了不同的棱。显然每条路径的长度都至少为 ，因此  的棱长之和 。

 具体可以到多大还有待探索。

预选赛题 3.

答案为 (B)。这题赛时我又是直接 Matlab 爆破的，属于是能不自己算就算不了一笔。

具体严格计算也比较简单。设  为  先手的获胜概率， 是  先手的获胜概率。首先注意到 ，这是因为  先手抽完之后就变成了  拿  张牌先手输的概率。

如果  先手没有抽到鬼牌，那么同上可知  的获胜概率为 ；若  抽到了鬼牌，同上分析可知  的获胜概率为 。因此

利用  可以算得  的通项公式：

代入选项得到  时  最大。

这题感觉可以改高考题出。

预选赛题 4.

答案为 (C)。

一开始觉得这是个图论问题，手画了两下发现并不是，，。然后我审题还审歪了，没注意每个点只能过一次，画了个螺旋，最后随便画了个回起点的路径，寄。

后来仔细想了想这个问题，发现如果以顺时针的整体趋势去转，那么四个角上可以各赚  分钟，而其它地方左转右转可以互相抵消，因此平均下来最优方案应该就是  分钟。

看了看标答，相当于用  定理推出了左转与右转个数之差一定是 ，然后再进行平均即可。

喜报：公式算图片插入，还只能限制每个专栏插 100 张，那我们下个专栏再见，，