基本群 1

确定给定的两个拓扑空间是否同胚是拓扑学的基本问题之一。目前还没有解决这个问题的一般方法，但是有一些适用于某些特殊情形的技巧。

为了证明两个空间是同胚，只要构造一个有连续逆映射的连续映射，将其中一个空间映射到另一个空间上，而对于构造连续映射，我们已经有了一些办法。

证明两个空间不同胚则是另一回事。为此，必须证明在于他们之间不存在有连续逆映射的连续映射。如果能够找到某一个拓扑性质为一个拓扑空间所具有而不为另一个空间所具有，那么问题便解决了，即这两个空间一定不同胚。例如，闭区间【0，1】不同胚于开区间(0,1)，因为前者是紧致的，而后者却不紧致。实直线R不同胚于”长线“L，因为R有可数基而L却没有。实直线R也不与平面R^2同胚，因为从平面R^2中挖去一点，剩下的空间是连通的，但从实直线中挖去一点之后，剩下的空间就不连通了。

但是我们迄今所研究过的拓扑性质远不足以解决这个问题。例如，怎样证明平面R^2不同胚于三维空间R^3呢？查遍已经学过的拓扑性质——紧致性、连通性、局部连通性、可度量化性等，还是找不到一种拓扑性质能够用来区别这两个空间，作为另一个例子，考虑二维球面S^2、环面T（轮胎的表面）以及双环面T#T(连体轮胎的表面),迄今我们所研究过的拓扑性质都不能够区别它们.

所以我们必须引入一些新的性质和方法.