浅谈高等数学（1）（初中生可进）

2022-01-11 16:45 作者:-YD-LM- 0人读过 | 我要投稿

一部数学史，正是你学习数学的全过程。然而，只有数学一门学科拥有这样的性质。

从这期起，我将用最初等的语言来讲述那些高等的数学定义。当然，正如之前所说，我将循着探索的过程，来逐渐接近并达到现有的定义或是某些方法。从理论基础上，编排顺序会基本按照同济版教材的顺序，但也会作些许调整。那些繁复而缺少直观的证明，我将尽量略去，但也并非完全省略。部分的图片或文案素材出自@混数魔王----雨殇的视频及与我的私信，且已经过本人允许。

第一期极限的理解（一）

（自变量趋于常数时函数的极限无穷小）

高等数学中，一个最重要的思想之一就是所谓“逼近”，或说“接近”，或说“趋近”。首先，必须要明确：逼近与达到两者之间存在本质的区别。达到意味着完全相等，差严格等于零。而逼近是一个过程，这个过程没有止境，却永远达不到这个数。例如向3的逼近，可以是3.1，3.01，3.001，……这样一个无穷数列，但这个数列中是没有3这个数的。这种思想的历史沿革已久，例如耳熟能详的“割圆术”，或者古希腊的“芝诺悖论”等等。

至于极限，自变量逼近于常数时函数的极限有一个十分宽泛的理解：说白了，就是一个函数 $f(x)$ ，当自变量 $x$ 逼近于某一个数 $x_0$ 时，函数值 $f(x)$ 也逼近于某一个常数 $A$ ，那么就称常数 $A$ 是函数 $f(x)$ 当 $x%5Crightarrow%20x_0$ 时的极限，记作

$%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20x_0%7Df(x)%3DA$

这个定义，是高中及更以前时的定义。但又必须再次强调：这个记法与 $f(x_0)%3DA$ 是完全不一样的。首先，能举出反例： $f(x)%3D%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D$ .这个函数在0处显然没有定义。但当 $x$ 趋近于0时，这个函数又会趋近于1： $f(0.1)%5Capprox%200.99833%2Cf(0.05)%5Capprox%200.99958%2Cf(0.01)%5Capprox0.99998%2C%E2%80%A6%E2%80%A6$ （此后，若非单独说明，所有角度均使用弧度制计算）.事实上，这个函数在0处的极限就是1，即 $%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D%3D1$ ，之后会给出证明。这说明函数在某处有极限并不一定需要在该处有定义。其次，就算在该处有定义，两者表示的意义也不同：求极限代表了逼近的过程，是永远不会达到的。接下来，我们尝试对这一定义“翻译”成数学语言。

在中学阶段，我们就引入了“无穷大”这一概念。我们对无穷大，也就是记号 $%E2%88%9E$ 的理解是：无论给定绝对值多么大的数，它的绝对值都能大于这个数。无穷大是数吗？不是。你可以将它理解为一个“逼近”的过程：一个数可以趋于无穷大，但不能达到它。那么什么是无穷小呢？类似的，我们给出这样的定义：无论给定绝对值多么小（但不是零）的数，它的绝对值都能小于这个数（这个定义是为方便读者理解，稍后会修改）。同样地，可以将它理解为一个“逼近”于零的过程。无穷小虽然不是数，但容易想到：零是可以看成无穷小的唯一常数。无穷小可以用希腊字母 $%5Calpha%2C%5Cbeta%2C%5Cgamma$ 等来表示。也就是说，

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%5Cvert%20%5Calpha%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon.$

这样你就迈出第一步了。刚刚的无穷小是刻画趋近于0的，那如果是趋近于一个数 $A%0A$ 的因变量 $f(x)$ 呢？这就等同于 $f(x)-A$ 是一个无穷小。于是有

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%5Cvert%20f(x)-A%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon.$

我们把这个式子作为一个目标。也就是说，我如果给定一个正数 $%5Cvarepsilon%20$ ，我就一定能通过某种方式，使得函数值到目标值（也就是极限值）的距离小于 $%5Cvarepsilon%20$ 。通过什么样的方式呢？通过将 $x$ 限制在 $x_0$ 附近的一个范围中。我们不妨把这个范围定为 $(x_0-%5Cdelta%20%2Cx_0%2B%5Cdelta)$ （当然 $%5Cdelta%3E0$ ），但有一点要注意：这个范围还要去掉 $x_0$ 本身，也就是 $(x_0-%5Cdelta%2Cx_0)%5Ccup(x_0%2Cx_0%2B%5Cdelta)$ ，也可以表示为所有满足 $0%3C%5Cvert%20x-x_0%20%5Cvert%20%3C%5Cdelta$ 的点构成的集合。

之所以去掉 $x_0$ ，是为了体现“逼近”的概念。那为什么之前描述函数值的逼近时，没有去掉 $A$ 本身呢？我们考虑常值函数 $f(x)%3DC%20(x%5Cin%20R)$ ，显然 $%5Clim_%7Bx%5Cto%20x_0%7D%20f(x)%3DC$ ，但是 $0%3C%5Cvert%20f(x)-C%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon$ 根本无法成立。

话再说回来。通过找出一个合适的 $%5Cdelta$ ，让 $x$ 距离 $x_0$ 小于它，我就可以让函数值距离 $A$ 小于任意一个给定的 $%5Cvarepsilon$ .翻译成数学语言就是

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%3E0%2C%5Cexists%20%5Cdelta%3E0%2C$ 使得当 $0%3C%5Cvert%20x-x_0%20%5Cvert%20%3C%5Cdelta$ 时，都有 $%5Cvert%20f(x)-A%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon.$

最后一个问题：定义域。 $f(x)$ 需要在何范围内有定义？方才的 $f(x)%3D%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D%20$ 已经说明不必在 $x%3Dx_0$ 处有定义。先引入“邻域”的概念：以 $x_0$ 为中心的任何开区间称为点 $x_0$ 的邻域，记作 $U(x_0)$ ；在 $U(x_0)$ 去掉中心 $x_0$ 后，称为 $x_0$ 的去心邻域，记作 $%5Cmathring%7BU%7D(x_0)$ .也就是说，只需要在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义即可。

于是，

定义设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义。若

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E0%2C%5Cexists%20%5Cdelta%3E0%2C$ 使得当 $0%3C%5Cvert%20x-x_0%20%5Cvert%20%3C%5Cdelta$ 时，都有 $%5Cvert%20f(x)-A%20%5Cvert%20%3C%5Cvarepsilon.$

则常数 $A$ 叫做函数 $f(x)$ 当 $x%5Crightarrow%20x_0$ 时的极限，记作

$%5Clim_%7Bx%5Cto%20x_0%7Df(x)%3DA.$

把定义中 $0%3C%5Cvert%20x-x_0%20%5Cvert%20%3C%5Cdelta$ 分别改为 $x_0-%5Cdelta%3Cx%3Cx_0$ 和 $x_0%3Cx%3Cx_0%2B%5Cdelta$ ，则常数 $A$ 分别叫做函数 $f(x)$ 当 $x%20%5Crightarrow%20x_0$ 时的左极限和右极限，分别记作

$%5Clim_%7Bx%5Cto%20x_0%5E-%7Df(x)%3DA(%5Clim_%7Bx%5Cto%20x_0%5E%2B%7Df(x)%3DA)$ .

左右极限的概念是不难理解的：一个从左边逼近，一个从右边逼近而已。但有一个极重要的推论：函数 $f(x)$ 在某处有极限，等价于在该处的左极限与右极限均存在且相等。这同样不难理解。如果有一个不存在，那相当于函数在去心邻域内不都有定义，与极限的定义相悖。如果存在但不相等，那就无法使得函数从两边逼近都能趋于同一个数 $A$ 。

讨论完第一种极限的定义，我们应当修改无穷小的定义。无穷小其实是一个函数，是一个当 $x%5Crightarrow%20x_0$ 时的极限为0的函数。仍然，0是可以看作无穷小的，它是一个常值函数。

事实上，在我们的一系列思想活动中，已经得到了一个重要定理：

定理在自变量的同一变化过程 $x%5Crightarrow%20x_0$ 中，函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ ，等价于 $f(x)%3DA%2B%5Calpha$ ，其中 $%5Calpha$ 是无穷小。