微积分基础——诱导函数

（找个机会水一期）

        大家好，今天我们来讲讲微积分。

        微积分的基础——诱导函数。

        我们都知道，要算平均速度，那就要算出时间和距离，那么，如何去算出瞬时速度呢？这里有个好方法，就是用一个极小的平均速度来代替瞬时速度，那我们就假设距离为Δy，时间为Δx，那平均速度就是Δy／Δx。当Δx变的非常小时，那就可以看成瞬时速度。这个瞬时速度怎么算呢？我们从一个例子来计算。

        假设一个人，每秒走2米。那如果用函数来表示，那也就是y=2x。（y是距离【米】，x是时间【秒】）如果我们要来计算第x秒的时候瞬时速度，那就相当于计算第x秒左右那一点点时间的瞬时速度，这个速度就是Δy／Δx，而当时间（也就是x）增加一点点（也就是Δx）时，距离（也就是y）也就相应的增加了一点点（也就是Δy）那我们就可以得到一个式子

y+Δy=5（x+Δx）

这个式子有什么用呢？首先，我们将它化简，化简之后就是这样的

y+Δy=5x+5Δx

我们之前还有一个基本的函数式y=5x，这时把它代入左边，就可以得到

5x+Δy=5x+5Δx

两边合并同类项，就得

Δy=5Δx（再不能消去“Δ”了，这里的“Δ”是和字母在一起的）

接下来，代入刚刚我们刚刚所说的求瞬时速度的式子Δy／Δx，就得

5Δx／Δx

最后，一次性消掉Δx（即两边同除Δx）（“Δ”要和x放在一起消）

瞬时速度=5（米／秒）

也就是说，不管在这个人走的什么时候，他的瞬时速度一直是5米／秒

如果看到这里你还是觉得没有什么惊喜感，那就来个难一点的吧。

假设一个人，他的移动距离和时间的关系是这样的

y=x²

那问题来了，如何确定他的瞬时速度呢？

我们还是用刚刚的方法，当时间（也就是x）增加一点点（也就是Δx）时，距离（也就是y）也就相应的增加了一点点（也就是Δy），式子就变成了

y+Δy=（x+Δx）²

化简

y+Δy=x²+2Δx·x+（Δx）²

把原先的式子y=x²代入

x²+Δy=x²+2Δx·x+（Δx）²

合并同类项

Δy=2Δx·x+（Δx）²

这时再计算平均速度（由于这里的Δx已经很小了，所以可以近似的认为是瞬时速度。这是微积分的重要思维方式）

Δy／Δx=[2Δx·x+（Δx）²]／Δx即瞬时速度=2x+Δx

因为我们要把平均速度当成瞬时速度来看，所以这个加上去的Δx必须很小，小到可以忽略不计（Δx->0）所以，瞬时速度就是2x

这个2x是什么意思呢，其实是当时间为x秒时，瞬时速度为2x米／秒

想这样的一种计算瞬时速度的东西，可以看成一种函数，这种函数叫诱导函数，简称导函数，导数。

这时有人问了，不就是一个求瞬时速度的东西吗，为啥还要把它当成一个函数来看呢？其实他还有一种更直观化的应用，就是直线的斜率。这个，我们下一期再讲（我怕大家烦）

（下一期还要讲一下这个函数与其他函数的联系，以及这个函数的标准格式）

｛这个斜率如果讲不完（大概率是了）那就分两期。｝