一些有的没的狭义相对论数学小知识

2022-10-08 14:02 作者:nyasyamorina 0人读过 | 我要投稿

这篇专栏其实是写着来玩的, 内容非常的不专业不严肃不严谨, 但是起码可以保证某种程度上的正确性 (大概?).

如果自己勤快的话也许会做一点动态图放在里面? 反正写到这里的时候不知道会不会有那样的勤快就是了.

狭义相对论? 球面? 洛伦兹变换? 旋转?

额, 根据其他人说, 狭义相对论是在一个叫什么什么空间里面的, (翻书) 哦对, 闵可夫斯基空间, 不重要好吧. 只需要知道一件事, 在以 $(t%2Cx%2Cy%2Cz)$ 作为时空坐标的时候, 就是 t 是时间, xyz 是空间, 然后在这个什么什么空间里导出 $s%5E2%3Dc%5E2t%5E2-x%5E2-y%5E2-z%5E2$ , 其中 s 就是时空距离, c 是光速, 只需要知道这些就足够了, 翻页翻页.

为了方便, 下面讨论简单的二维时空 $(t%2Cx)$ , 四维时空可以从"同理可得"求出 (bushi). 为了方便, 记 $ct%3Dx%5E0$ , 以及 $x%3Dx%5E1$ , 那么坐标变为 $(x%5E0%2Cx%5E1)$ . 虽然可能很迷惑, 但是上标 ⁰, ¹ 不是次方的意思, 这个上标是跟 x 组成一个整体的, 就像是导数里面 dy/dx 的 d 不能约掉一样. 这样子时空距离可以表达为 $s%5E2%3D(x%5E0)%5E2-(x%5E1)%5E2$ , 这里的上标 ² 确实就是平方的意思了.

既然出现了"距离"的概念, 那不妨想象一个"球面", 并且"球"上处处到原点的"距离"相等, 那么式子 $s%5E2%3D(x%5E0)%5E2-(x%5E1)%5E2$ 为常数, 可以画出如下图所示的图形 (习惯上 x⁰ 与时间相关作为竖轴, x¹ 与空间相关作为横轴)

尽管很难看出来, 但是图里相同颜色的曲线上所有点距离原点都是拥有相同的"距离", 真的很抽象. 实际上, 在普通几何里, 式子 $x%5E2-y%5E2%3Dk$ 给出的曲线称作双曲线, 所以在这里形成的面也不叫"球面", 而是叫双曲面, 虽然硬叫球面也可以, 毕竟这个东西符合在这个空间里的球面定义 (). 另外因为"距离"的式子里出现了减号, 所以允许 $s%5E2%3C0$ 的情况出现, 当把这部分也画出来之后, 就可以得到覆盖整个时空的曲面网, 如下图所示. (特别注意, s²=0 时曲线变为时空上的对角线, 而不是像普通球面那样收缩为原点, 这说明时空对角线上的所有点到原点的距离都为 0, 之后再解释这是什么东西, 我知道你很急, 但是先别急.)

既然这些曲面符合对球面的定义, 那么有没有一种可能, 我是说, 球面的旋转在这里也可以适用呢?

首先考虑普通的空间 $x%5E2%2By%5E2%3Dr%5E2$ , 有 $%5Cleft(%5Cfrac%20xr%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(%5Cfrac%20yr%5Cright)%5E2%3D1$ , 然后取 $%5Cfrac%20xr%3D%5Ccos%5Ctheta%2C%5Cfrac%20yr%3D%5Csin%5Ctheta$ , 那么普通空间上任意一点 $(x%2Cy)$ 都可以使用球极坐标 $(r%2C%5Ctheta)$ 表示, 为了方便, 这里表示为 $(x%2Cy)%5Crisingdotseq(r%2C%5Ctheta)$ , 在球极坐标时旋转可以表示为 $(r%2C%5Ctheta-%5Ctheta_0)$ , 其中 θ₀ 就是旋转的角度.

然后再看回现在的什么什么空间, 有 $%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%5E0%7Ds%5Cright)%5E2-%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%5E1%7Ds%5Cright)%5E2%3D1$ , 如果引入复数的话可以有 $%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%5E0%7Ds%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%5E1%7D%7Bis%7D%5Cright)%5E2%3D1$ , 然后取 $%5Cfrac%7Bx%5E0%7Ds%3D%5Ccos%5Ctheta%2C%5Cfrac%7Bx%5E1%7D%7Bis%7D%3D%5Csin%5Ctheta$ ....吗? 别急, 用欧拉公式展开 cos,sin 得到 $%5Cfrac%7Bx%5E0%7Ds%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bi%5Ctheta%7D%2Be%5E%7B-i%5Ctheta%7D%7D2%2C%5C%2C%5Cfrac%7Bx%5E1%7D%7Bis%7D%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bi%5Ctheta%7D-e%5E%7B-i%5Ctheta%7D%7D%7B2i%7D$ , 然后记 $i%5Ctheta%3Dw$ , 稍作化简得到 $%5Cfrac%7Bx%5E0%7Ds%3D%5Cfrac12(e%5Ew%2Be%5E%7B-w%7D)%3D%5Ccosh%20w%2C%5C%2C%5Cfrac%7Bx%5E1%7Ds%3D%5Cfrac12(e%5Ew-e%5E%7B-w%7D)%3D%5Csinh%20w$ , prrefeict, 于是时空坐标 $(x%5E0%2Cx%5E1)$ 可以用"双曲"极坐标表示为 $(s%2Cw)$ , 即 $(x%5E0%2Cx%5E1)%5Crisingdotseq(s%2Cw)$ , 其中 s 就是上面说的时空距离, w 在几何上叫做双曲角, 但是在这里有一个特殊的名字叫快度.

与球面旋转类似, 双曲面"旋转"可以表示为 $(s%2Cw-w_0)$ . 根据 $(x%5E0%2Cx%5E1)%3D(s%5Ccosh%20w%2Cs%5Csinh%20w)$ 这个东西, 一顿猛烈操作下 (脑细胞 -50%) (对过程感兴趣的可以看一下文章底部), 得到 $(%5Ctilde%20x%5E0%2C%5Ctilde%20x%5E1)%5Crisingdotseq(s%2Cw-w_0)$ 为 $%5Ctilde%20x%5E0%3D%5Ccosh%20w_0(x%5E0-x%5E1%5Ctanh%20w_0)%2C%5Ctilde%20x%5E1%3D%5Ccosh%20w_0(x%5E1-x%5E0%5Ctanh%20w_0)$ , 看起来好像很复杂, 但是引入 $%5Cbeta%3D%5Cfrac%7Bx%5E1_0%7D%7Bx%5E0_0%7D%3D%5Cfrac%7Bs_0%5Csinh%20w_0%7D%7Bs_0%5Ccosh%20w_0%7D%3D%5Ctanh%20w_0$ , 然后记 $%5Cgamma%3D%5Ccosh%20w_0%3D%5Cfrac1%7B%5Csqrt%7B1-%5Ctanh%5E2w_0%7D%7D%3D%5Cfrac1%7B%5Csqrt%7B1-%5Cbeta%5E2%7D%7D$ , 那么就可以有 $%5Ctilde%20x%5E0%3D%5Cgamma(x%5E0-%5Cbeta%20x%5E1)%2C%5C%2C%5Ctilde%20x%5E1%3D%5Cgamma(x%5E1-%5Cbeta%20x%5E0)$ , 这就是著名的洛伦兹变换, 其中 γ 称为洛伦兹因子. 其实看到上面的 $%5Cbeta%3D%5Cfrac%7Bx%5E1_0%7D%7Bx%5E0_0%7D%3D%5Cfrac%7Bx%5E1_0%7D%7Bct_0%7D$ , 因为 x¹ 是空间距离, 所以速度为 $v%3D%5Cfrac%7Bx%5E1_0%7D%7Bt_0%7D$ , 即 $%5Cbeta%3D%5Cfrac%20vc$ .

正如球面旋转可以用矩阵表示 (因为矩阵与基变换等价), 双曲"旋转"也可以用矩阵给出, 记 $%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Ctilde%20x%5E0%5C%5C%5Ctilde%20x%5E1%5Cend%7Bbmatrix%7D%3DL%5Cbegin%7Bbmatrix%7Dx%5E0%5C%5Cx%5E1%5Cend%7Bbmatrix%7D$ , 其中 L 就是洛伦兹变换, 得到 $L%3D%5Cgamma%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%26-%5Cbeta%5C%5C-%5Cbeta%261%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Ccosh%20w%26-%5Csinh%20w%5C%5C-%5Csinh%20w%20%26%5Ccosh%20w%5Cend%7Bbmatrix%7D$ .

在球极坐标 (r, θ) 里, 分别把 r 和 θ 取固定值, 可以画出互相交错的曲线网, 如下图所示

那么在"双曲极"坐标 (s, w) 里分别对 s 和 w 取固定值也可以画出互相交错的曲线网:

下图展示了这个空间匀速"旋转"的样子, 也就是匀速做洛伦兹变换的样子 (也就是匀加速参考系的样子)

世界线就由我来改变 (?)

一个物体在时空里移动得到的路径就被叫做世界线, 此处石头门含量为 0. 因为观察者的速度相对于自己来说永远是 0, 也就是说当选定一个参考系后, 参考系本身的世界线必定为 x⁰ 轴, 考虑加速参考系的话, 准确来说是世界线的"前进方向"必定为 x⁰ 轴.

对于任意匀速物体来说, 因为 x¹/x⁰ = v/c 为常数, 所以匀速物体的世界线总为一条直线. 这个结论是可以反着来说的, 世界线为直线的物体必定是匀速运动.

考虑一下超级加倍的情况, 我的意思是, 速度的叠加. 考虑下面的情况: 物体 B 相对于 A 运动的速度是 0.8c, 物体 C 相对于 B 的运动速度是 0.3c, 那物体 C 相对于 A 运动的速度就是 0.8c + 0.3c = 1.1c ....吗? 来推导一下, 为了方便, 假设 ABC 都经过时空原点, 在 B 参考系下, A 的速度为 -0.8c, C 的速度为 0.3c, 那么使用 $%5Cleft.p_A%5Cright%7C_B$ 表示在 B 参考系下 A 的时空坐标的话, 有 $%5Cleft.p_A%5Cright%7C_B%3D(a%2C-0.8a)%2C%5C%2C%5Cleft.p_B%5Cright%7C_B%3D(a%2C0)%2C%5C%2C%5Cleft.p_C%5Cright%7C_B%3D(a%2C0.3a)$ , 其中 a 是任意实数. 如下图所示

为了把时空坐标转换到 A 参考系下, 做洛伦兹变换 β = -0.8, γ = 5/3 得到 $%5Cleft.p_A%5Cright%7C_A%3D(0.6a%2C0)%2C%5C%2C%5Cleft.p_B%5Cright%7C_A%3D(%5Cfrac53a%2C%5Cfrac43a)%2C%5C%2C%5Cleft.p_C%5Cright%7C_A%3D(%5Cfrac%7B31%7D%7B15%7Da%2C%5Cfrac%7B11%7D%7B6%7Da)$ , 如下图所示, 于是得到了 C 相对于 A 的速度为 (55/62)c, 这明显不符合单纯把速度加起来的结果.

实际上如果记速度为 v = βc, 那么两速度叠加之后的结果为 $%5Cfrac%7B%5Cbeta_1%2B%5Cbeta_2%7D%7B1%2B%5Cbeta_1%5Cbeta_2%7D$ (推导在下面). 根据这个公式不难知道, 只要两个速度都小于光速, 叠加之后的速度必定小于光速.

固有结界 固有时

一切事物都会随着时间前进而发生变化, 而且这种变化是对于同一体系下的观察者来说是绝对的, 但如果观察者看向旁边那个在运动的体系里, 会发现事物变化的速度会改变, 也就是在运动的钟跳一秒, 对于静止的钟来说就不等于一秒, 这种改变被称为钟缓效应或时间膨胀. 但这里不会去讨论这个效应.

假设有两个相对运动的观察者 A 和 B, 以及他们的表, A 看自己的表, 跳一秒就等于一秒, 同理 B 看 B 的表, 跳一秒就等于一秒, 这个时间是绝对的, 不可能因为 A 看 B 的表变慢了, 而 B 看自己的表也会变慢. 尽管这里使用表为例子, 但所有物理规律作用在同一体系下的事物都是以固定速度变化的, 为了衡量这种绝对的时间, 提出了原时的概念 (又称固有时).

实际上, 正如上面所说, 变换参考系 (也就是洛伦兹变换) 其实是等于双曲"旋转", 并且在"旋转" 里有一样东西绝对不变, 那就是时空距离 s, 那么原时定义为 $%5Ctau%3Ds%2Fc$ . 原时可以很方便地描述任意体系下与时间相关的东西. 下面以双生子佯谬来作为例子.

对于不熟悉双生子佯谬的人, 这里简单地复述一下在这个东西 (都来看这个专栏了, 不会还有人不知道双生子佯谬, 不会吧不会吧). 就是有一对双胞胎, 妹妹留着地球上, 而哥哥坐着火箭前往了很遥远的星球, 并且在到达星球后还是坐着火箭返回了地球, 那么问题就是当哥哥返回地球后, 就会看到大哥哥, 哥哥和妹妹哪个年纪比较大呢 (不考虑双胞胎出生的这点时间差). 如果单纯考虑钟慢效应的话, 妹妹看着运动的哥哥 (? 脱敏啊家人们), 哥哥的时间流逝比较慢, 所以哥哥回来之后是哥哥比较年轻, 但在哥哥的视角是妹妹在运动, 所以应该是妹妹比较年轻, 这不就出现谬论了 ....吗?

很多地方会给出解释: 因为哥哥在火箭上会受火箭加速影响 (至少发生在到达星球后掉转方向时), 而加速会使时间流逝发生变化. 这个解释, 只能说, 一般. 下面通过直接计算两人的原时去解释这个东西, 给以妹妹为参考系画出世界线, (蓝色是妹妹的世界线, 绿色的是哥哥的):

为了方便计算, 给上面的点套上一些数值, 假如 A = (2, 0), B = (1, 0.6), 那么在地球上的妹妹的原时为 $c%5Ctau_%7B%5Cmathrm%7Bsister%7D%7D%3D%7CAO%7C%3D%5Csqrt%7B(2-0)%5E2-(0-0)%5E2%7D%3D2$ , 而在火箭上的哥哥的原时为 $c%5Ctau_%7B%5Cmathrm%7Bbrother%7D%7D%7C%3DBO%7C%2B%7CAB%7C%3D%5Csqrt%7B(1-0)%5E2-(0.6-0)%5E2%7D%2B%5Csqrt%7B(2-1)%5E2-(0-0.6)%5E2%7D%3D1.6$ , 也就是说, 如果妹妹度过了 20 年, 哥哥则只度过了 16 年. 这个结果是绝对的, 不会因为参考系不一样而产生不同的结果, 比如说把参考系换为刚出发时的哥哥, 也就是上图作洛伦兹变换 β=0.6 得到:

其中 $A'%3D(-1.5%2C2.5)%2C%5C%2CB'%3D(0%2C%200.8)$ , 那么 $%7CA'O%7C%3D%5Csqrt%7B(2.5-0)%5E2-(-1.5-0)%5E2%7D%3D2$ 和 $%7CB'O%7C%2B%7CA'B'%7C%3D%5Csqrt%7B(0.8-0)%5E2-(0-0)%5E2%7D%2B%5Csqrt%7B(2.5-0.8)%5E2-(-1.5-0)%5E2%7D%3D1.6$ , 可以看到与上面的结果相同.

现在来看另外一个东西: 时空对角线. 在对角线上的点满足 |x¹/x⁰| = |β| = 1, 也就是说如果物体沿着时空对角线移动的话, 那它的速度就是光速. 在上面也有说过, 时空对角线同时也是 (x⁰)²-(x¹)² = 0 的解, 也就是说原时 τ = s/c 也为 0, 这意味着当一个物体以光速移动时, 这个物体的时间是静止的. 当如果反过来看, 如果观察者本身在以光速运动的话, 他看到的其他事物会是怎么样的? 作洛伦兹变换 β=1, 并且 γ=0, 就是 $L%3D%5Cgamma%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%26-%5Cbeta%5C%5C-%5Cbeta%261%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D0$ , 这说明对于观察者来说, 其他一切事物都是都是无意义的, 但如果观察者只是以光速运动了一段有限的距离, 那么对于观察者本身来说, 就是从开始运动的地方"瞬移"到了运动停止的地方, 但对于其他非光速运动的观察者来说, 那个人只是在以光速移动而已.

对于熟悉微积分的人来说, 对时空距离的定义 s² = (x⁰)²-(x¹)² 求微分得到 $ds%5E2%3D(dx%5E0)%5E2-(dx%5E1)%5E2$ , 假设有一物体在时空上的世界线为 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%5E0%3Dx%5E0(%5Clambda)%5C%5Cx%5E1%3Dx%5E1(%5Clambda)%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%3B%5C%3B%5Clambda%5Cin%5Ba%2Cb%5D$ , 其中 λ 只是为了表示世界线的参数, 没什么其他的意思, 那么这个物体的原时为 $%5Ctau%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%5Cint_a%5Eb%5Cfrac%7Bds%7D%7Bd%5Clambda%7Dd%5Clambda$ , 亦即 $%5Ctau%3D%5Cfrac1c%5Cint_a%5Eb%5Csqrt%7B%5Cleft(%5Cfrac%7Bdx%5E0%7D%7Bd%5Clambda%7D%5Cright)%5E2-%5Cleft(%5Cfrac%7Bdx%5E1%7D%7Bd%5Clambda%7D%5Cright)%5E2%7Dd%5Clambda$ .

在这个专栏里刻意回避了 "超光速" 这个东西, 实际上超光速世界线的时空距离为虚数, 并且洛伦兹变换也会变为复矩阵, 所以超光速这个东西有点脱离了实际, 毕竟虚数距离是个什么东西啊. 感兴趣的人其实也可以去算着玩玩, 但是实际上超光速参考系跟普通参考系没什么太大区别, 除了时间和空间都多了一个虚数单位.

题外话: 上面出现了符号 $ds%5E2$ , 字面上看就是时空距离的微元的平方, 在抽象几何学里还有一个名字: 度规, 这个量 (准确来说是这个量与坐标的关系) 可以给出空间 (或时空) 的弯曲形式, 从而研究抽象几何上的各种东西, 比如说物体的运动规律. 之后我是有打算进行一个曲面论和广义相对论的写, 具体到时候再说罢.

双曲"旋转" 到洛伦兹变换

由 $(%5Ctilde%20x%5E0%2C%5Ctilde%20x%5E1)%5Crisingdotseq(s%2Cw-w_0)$ 得到 $%5Ctilde%20x_0%3Ds%5Ccosh(w-w_0)%2C%5C%2C%5Ctilde%20x%5E1%3Ds%5Csinh(w-w_0)$ , 下面化繁化简第一条式子:

$s%5Ccosh(w-w_0)%3D%5Cfrac%20s2(e%5E%7Bw-w_0%7D%2Be%5E%7Bw_0-w%7D)$ , 引入一大堆虚空项 $%5Cfrac%20s4(e%5E%7Bw_0%7De%5Ew-e%5E%7Bw_0%7De%5Ew%2Be%5E%7B-w_0%7De%5E%7B-w%7D-e%5E%7B-w_0%7De%5E%7B-w%7D%2B2e%5E%7Bw_0%7De%5E%7B-w%7D%2B2e%5E%7B-w_0%7De%5Ew)$ , 因式分解得 $%5Cfrac%20s4((e%5E%7Bw_0%7D%2Be%5E%7B-w_0%7D)(e%5Ew%2Bw%5E%7B-w%7D)-(e%5E%7Bw_0%7D-e%5E%7B-w_0%7D)(e%5Ew-e%5E%7B-w%7D))$ , 于是可以得到 $s%5Ccosh%20w_0%5Ccosh%20w-s%5Csinh%20w_0%5Csinh%20w$ , 因为 (x⁰, x¹) ≒ (s, w), 所以得到 $x%5E0%5Ccosh%20w_0-x%5E1%5Csinh%20w_0%3D%5Ccosh%20w_0(x%5E0-x%5E1%5Ctanh%20w_0)$ . 类似地, 第二条式子可以变为 $%5Ccosh%20w_0(x%5E1-x%5E0%5Ctanh%20w_0)$ .

实际上, 双曲"旋转"到洛伦兹变换的推导不太严谨. 有两个问题, 首先是 (s, w) 不唯一, 这个可以看作是双曲线 (x⁰)²-(x¹)² = s² 和直线 x¹/x⁰ = tanh w 的交点, 除了 (x⁰, x¹) 是它们的交点, (-x⁰, -x¹) 也是它们的交点, 不过因为空间, 图像, 交点都是对称的, 所以这个也不是大问题. 第二个问题就是, 在 w 为实数时, 必定有 (x⁰)²-(x¹)² < 1, 这是因为 x¹/x⁰ = tanh w ∈ (-1, 1). 在设 β = x¹/x⁰; |β| ≠ 1 时, 可以由 tanh w = β 解得 $w%3D%5Cfrac12%5Cln%5Cleft%7C%5Cfrac%7B1%2B%5Cbeta%7D%7B1-%5Cbeta%7D%5Cright%7C%2Bni%5Cpi%3B%5C%3Bn%5Cin%5Cmathbb%20Z$ . 实际上, 当 n 为偶数时 |tanh w| < 1, 当 n 为奇数时 |tanh w| > 1, 也就是说为了使时空上所有点 (除了时空对角线上的点) 都有对应 (x⁰, x¹) ≒ (s, w), 必须有 $s%5Cin%20%5Cmathbb%20R%2C%5C%2Cw%5Cin%5CRe%20w%2Bni%5Cpi%3B%5CRe%20w%5Cin%5Cmathbb%20R%2Cn%5Cin%5Cmathbb%20Z$ .

速度叠加的通用式

就像例子那样, 假设 A 相对于 B 的速度为 β₁c, C 相对于 B 的速度为 β₂c, 那么有 $%5Cleft.p_C%5Cright%7C_B%3D(a%2C%5Cbeta_2a)$ , 然后做洛伦兹变换 -β₁ 将参考系从 B 变为 A 得到 $%5Cleft.p_C%5Cright%7C_A%3D%5Cgamma(a%2B%5Cbeta_1%5Cbeta_2a%2C%5Cbeta_2a%2B%5Cbeta_1a)$ , 于是得到叠加后为 $%5Cbeta_%7B1%2B2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cgamma(%5Cbeta_2a%2B%5Cbeta_1a)%7D%7B%5Cgamma(a%2B%5Cbeta_1%5Cbeta_2a)%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cbeta_1%2B%5Cbeta_2%7D%7B1%2B%5Cbeta_1%5Cbeta_2%7D$ .

因为 β = tanh w, 所以 $%5Cbeta_%7B1%2B2%7D%3D%5Ctanh%20w_%7B1%2B2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Ctanh%20w_1%2B%5Ctanh%20w_2%7D%7B1%2B%5Ctanh%20w_1%5Ctanh%20w_2%7D$ , 嗯算得到 $%5Cbeta_%7B1%2B2%7D%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bw_1%2Bw_2%7D-e%5E%7B-(w_1%2Bw_2)%7D%7D%7Be%5E%7Bw_1%2Bw_2%7D%2Be%5E%7B-(w_1%2Bw_2)%7D%7D$ , 设 w₁₊₂ 为实数, 那么有 $w_%7B1%2B2%7D%3D%5Cfrac12%5Cln%5Cfrac%7B1%2B%5Cbeta_%7B1%2B2%7D%7D%7B1-%5Cbeta_%7B1%2B2%7D%7D$ , 把上式代入再嗯算得到 $w_%7B1%2B2%7D%3D%5Cfrac12%5Cln%20e%5E%7B2(w_1%2Bw_2)%7D%3Dw_1%2Bw_2$ , 也就是说速度的叠加只是单纯地表示为快度的相加, 显然, 两次洛伦兹变换相当于两次双曲"旋转".

闵可夫斯基空间里实际定义的东西

在开头讲这个什么什么空间定义了时空距离 s² = c²t²-x²-y²-z², 众多书本, 文章, 甚至 wiki 都是这样说, 但实际上这个空间里定义的不是距离, 而是内积.

记时空坐标 (ct, x, y, z) 为 (x⁰, x¹, x², x³), 那么定义在什么什么空间里的内积为 $%5Cvec%20u%5Ccdot%5Cvec%20v%3D(%5Cvec%20u%2C%5Cvec%20v)%3Du%5E0v%5E0-u%5E1v%5E1-u%5E2v%5E2-u%5E3v%5E3$ , 第一个等号左右两边的都是正确的内积写法. 在定义了内积后, 那么向量的长度为 $%7C%5Cvec%20v%7C%3D%5Csqrt%7B%7C%5Cvec%20v%7C%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cvec%20v%5Ccdot%5Cvec%20v%7D$ , 可以看到形式上与普通的向量长度一致, 但内积定义不一样. 对比两式, 不难知道向量长度即为时空距离.

有了内积定义后, 考虑洛伦兹变换对应的基变换, 由相应的矩阵形式不难知道, 在二维时空里的两个基为 $%5Chat%5Cimath%3D(%5Cgamma%2C-%5Cbeta%5Cgamma)%2C%5C%2C%5Chat%5Cjmath%3D(-%5Cbeta%5Cgamma%2C%5Cgamma)$ , 它们之间的内积为 $%5Chat%5Cimath%5Ccdot%5Chat%5Cjmath%3D%5Cgamma(-%5Cbeta%5Cgamma)-(-%5Cbeta%5Cgamma)%5Cgamma%3D0$ , 也就是说洛伦兹变换必定是正交矩阵. TODO: 证明洛伦兹变换为旋转矩阵 (基的归一性和时空正向不变).

另外, 因为双曲面由 s² = k 给出, 其中 k 为常数. 有了内积定义后, 双曲面实际为方程 $%5Cvec%20s%5Ccdot%5Cvec%20s%3Dk$ 的全部解组成 (也就是普通几何上的球面定义), 对式子求微分得到 $2d%5Cvec%20s%5Ccdot%5Cvec%20s%3D0$ , 其中 $d%5Cvec%20s$ 为双曲面上的切向量, 而 $%5Cvec%20s$ 可以看作从时空原点到双曲面上的向量, 这条式子意味着连接原点到双曲面的直线与双曲面垂直, 而且任何过原点的直线都符合 x¹/x⁰ = β, 其中 β 是常数. 也就是说, 上面展示的"双曲"极坐标组成的曲线网是互相正交的, 这与球极坐标的性质相符.

一般来说, 与自身的内积大于 0 的向量称为类时向量, 而小于 0 的称为类空向量, 等于 0 的称为类光向量.

这篇专栏到此就结束了, 什么? 你说能量和质量之类的呢? 我看你是在说屁哦, 标题上都说了这个是数学专栏, 不存在那样的物理好吧, 润了.

所以为什么数学公式算图片啊? ntm 客户端塞一个 latex 渲染器怎么了, 又不是没有那样的轮子给你嗯塞, 真的是, 服了.

为了好玩, 下面来试试以双生子佯谬做数值模拟会怎么样. 为了动画展示比较流畅, 这里假设哥哥做的火箭的加速度正比于 cos 函数, 那么在妹妹的视角下的世界线演化为

在哥哥的视角下为

渲染上面两幅动图的源码可以在 github.com/nyasyamorina/trash-bin/blob/main/SpecialRelativity.jl 找到, 源码里并不会有上面有用的备注, 但需要注意的就是, 哥哥的世界线是以哥哥视角生成, 之后再以哥哥世界线为准生成妹妹的世界线, 因为离散计算的误差有点大, 所以就选择了这种先得出答案再求过程的步骤了.

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一些有的没的狭义相对论数学小知识

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