这一篇我们主要研究三角函数的积分方法

第一节 应用三角恒等式的积分

一、公式

二、应用

例1：计算

因为有

所以

注意这里的绝对值，因为在x∈[0,π/2]中，y始终大于0，因此|sinx|=sinx

即

例2：计算

貌似公式用不上啊？其实，我们用x/2代替公式中的x就可以了，也就是：

即

注意这里的|cos(x/2)|，因为x∈[π,π/2]中，y并不是正数，因此

|cos(x/2)|=-cos(x/2)

即

结果为

例3：计算(稍微有些难度)

我们处理它的办法比较特殊：让积分内的函数表达式乘上除上其共轭表达式

化简得到

我们先解决等号右边的第一项积分，即

其实把它稍微变一下形式就可以了

令t=sin x，则dt/dx=cosx => dt=cosx dx

等号右边的第二项积分

综上所述

die

第二节 三角函数幂的积分

一、sin x和cos x的幂

①对于∫cos^7 x * sin^10 x dx，一般方法是对奇次幂做手脚，具体方法如下：

将带有奇次幂的sinx(或cos x)分离一个sin x(或cosx)，即：

而

即

令t=sin x，则dt=cosx dx，所以

结果为

又因为t=sin x，所以

②如果幂都不是奇数，比如

我们要做的就是利用倍角公式：

展开，得到

分开求积分，得到

二、tanx的幂

设tanx的指数为n

n=1的情形比较简单，这里不谈

①n=2

根据

替换，然后求解

②n≥3

我们可以把tan^2 (x)提出来，然后改写为sec^2 (x) -1

比如

先把tan^2 (x)提出来

也就是

化简

令t=tan x，则dt=sec^2 (x) dx

即

综上所述