【数学基础Ep9】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 均值不等式：（a1+a2+……+an）/n>=（a1a2……an）^（1/n）>=n/（1/a1+1/a2+……+1/an）；

2. stolz公式——

   对于*/∞型的数列xn/yn，其中——
   

   存在自然数N"，使得n>N"时，yn是单增数列，即，yn+1>yn；

   在已知lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]为有限值或趋向于无穷的情况下；

   公式lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]成立。

3. 对三角形ABC，D为BC中点，则有AD=（AB+AC）/2。

   
   

参考资料：

1. 《数学分析》（陈纪修 於崇华 编）

2. 《解析几何》（吕林根 许子道 编）

3. 《高等代数习题集》（杨子旭 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析（陈纪修 於崇华 编）》）——

设lim（a1+a2+……+an）存在，证明：

a.lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

b.lim（n！a1a2……an）^（1/n）=0（ai>0，i=1,2，……，n）。

证——

a.  

1. 设lim（a1+a2+……+an）=a

2. a1+2a2+……+nan

   =a1+2[（a1+a2）-a1]+……+n[（a1+a2+……+an）-（a1+a2+……+an-1）]

   =a1（1-2）+（a1+a2）（2-3）+……+（a1+a2+……+an-1）[（n-1）-n]+n（a1+a2+……+an）；

3. .（a1+2a2+……+nan）/n

   ={a1（1-2）+（a1+a2）（2-3）+……+（a1+a2+……+an-1）[（n-1）-n]+n（a1+a2+……+an）}/n

   ={a1（1-2）+（a1+a2）（2-3）+……+（a1+a2+……+an-1）[（n-1）-n]}/n+（a1+a2+……+an）；

4. 对3中第一项使用stolz公式：

   lim{a1（1-2）+（a1+a2）（2-3）+……+（a1+a2+……+an-1）[（n-1）-n]}/n

   =lim（a1+a2+……+an-1）[（n-1）-n]=-lim（a1+a2+……+an-1）=-a；

5. lim（a1+2a2+……+nan）/n

   =lim{a1（1-2）+（a1+a2）（2-3）+……+（a1+a2+……+an-1）[（n-1）-n]}/n+lim（a1+a2+……+an）

   =-a+a=0.

b.

1. 由均值不等式：

   0<=（n！a1a2……an）^（1/n）

   =（1a1*2a2*……*nan）^（1/n）

   <=（a1+2a2+……+nan）/n

2. 由a中结论和夹逼准则可知：lim（n！a1a2……an）^（1/n）=0

解析几何——

例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——

证明四面体对边中点的连线交于一点且互相平分。

证：设四面体ABCD一组对边AB，CD中点E，F的连线为EF，它的中点为P1，其余两组对边中点连线的中点分别为P2，P3，下面只有证明P1、P2、P3三点重合就可以了。取不共面的三向量AB=e1，AC=e2，AD=e3——

1. 因为AP1是三角形AEF的中线，所以有AP1=（AE+AF）/2；

2. 又AF是三角形ACD的中线，所以AF=（AC+AD）/2=（e2+e3）/2；

3. E是AB的中点，则AE=AB/2=e1/2；

4. AP1=[e1/2+（e2+e3）/2]/2=（e1+e2+e3）/4；

5. 同理，AP1=AP2=AP3，即得证。

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子旭）》）——

证明：若数环R不为{0}，则R必包含有无限多个子环。

证：因为R不为{0}，固有a不为0，a不是R的元素，则——

（a）={……，-2a，-a，0，a，2a，……}，

（2a）={……，-4a，-2a，0，2a，4a，……}，

（3a）={……，-6a，-3a，0，3a，6a，……}，

……

都是R的子环，且互不相同，故R有无穷多个子环。

就到这里！