【数学基础Ep8】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 夹逼原理：若三个数列{xn}，{yn}，{zn}从某项开始成立xn<=yn<=zn，n>N0，且lim xn=lim zn=a，则lim yn=a。

参考资料：

1. 《数学分析》（陈纪修 於崇华 编）

2. 《解析几何》（吕林根 许子道 编）

3. 《高等代数习题集》（杨子旭 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析（陈纪修 於崇华 编）》）——

求数列极限——

a.若an>0（n=1，2，……），且lim（an/an+1）=l>1，则lim an=0.

b.若an>0（n=1，2，……），且lim（an+1/an）=a，则lim an^（1/n）=a.

证明——

a.

1. lim（an/an+1）=l>1，对于任意ε>0，存在自然数N，当n>N时，|an/an+1-l|<ε，即l-ε<an/an+1<l+ε；

2. 由1，可得一系列不等式——

   l-ε<an/an+1<l+ε

   l-ε<an-1/an<l+ε

   ……

   l-ε<aN+1/aN+2<l+ε

3. 由于an>0，上下各式相乘可得——

   （l-ε）^（n-N）<aN+1/an+1<（l+ε）^（n-N）；

4. 化简上式：aN+1/（l+ε）^（n-N）<an+1<aN+1/（l-ε）^（n-N）；

5. 由夹逼准则：lim an=0.

b.

1. lim（an+1/an）=a，对于任意ε>0，存在自然数N，当n>N时，|an+1/an-a|<ε，即a-ε<an+1/an<a+ε；

2. 由1，可得一系列不等式——

   a-ε<an/an-1<a+ε

   ……

   a-ε<aN+2/aN+1<a+ε

3. 由于an>0，上下各式相乘可得——

   aN+1*（a-ε）^（n-N-1）<an<aN+1*（a+ε）^（n-N-1），

   [aN+1^（1/n）][（a-ε）^（1--N/n-1/n）]<an^（1/n）<[aN+1^（1/n）][（a+ε）^（1--N/n-1/n）]，

   [aN+1^（1/n）][（a-ε）^（--N/n-1/n）]（a-ε）<an^（1/n）<[aN+1^（1/n）][（a+ε）^（--N/n-1/n）]（a+ε）；
   

4. 由夹逼准则：a-ε<lim an^（1/n）<a+ε，由于ε为任意小正数，则lim an^（1/n）=a.

解析几何——

例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——

证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍。用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来。

证：设四面体四个顶点坐标为A（0，0，0），B（x1，0，0），C（x2，y2，0），D（x3，y3，z3），面ABC，面BCD，面CDA，面DAB重心分别为G1，G2，G3，G4，BC中点记为E，CD中点为F，DG1和AG2的交点记为O—— 

1. AE=AB+BE=AB+BC/2

   =（x1+（x2-x1）/2，y2/2，0）

   =（（x1+x2）/2，y2/2，0）；

2. DE=DB+BE=DB+BC/2

   =（x1-x3+（x2-x1）/2，-y3+y2/2，-z3）

   =（-x3+（x1+x2）/2，-y3+y2/2，-z3）；

3. AG1=（2/3）AE

   =（（x1+x2）/3，y2/3，0）；

4. AG2=AD+DG2=AD+2DE/3=AD+2（AE-AD）/3=（2AE+AD）/3

   =（（x1+x2+x3）/3，（y2+y3）/3，z3/3）；

5. 因为EG1=EA/3，EG2=ED/3，∠AED=∠AED，所以三角形G1AG2∽三角形AED，所以，G1G2/AD=EG1/EA=1/3，∠EG1G2=∠EAD；

   ∠EG1G2=∠EAD，则G1G2平行于AD，则∠OG1G2=∠ODA，且∠G1OG2=∠DOA，则三角形G1OG2∽三角形DOA，G2O/AO=G1G2/AD=1/3；

6. AO=（3/4）AG2

   =（3/4）（（x1+x2+x3）/3，（y2+y3）/3，z3/3）

   =（（x1+x2+x3）/4，（y2+y3）/4，z3/4）……交点坐标；

7. 下面证明BO与BG3共线即可——

   BO=BA+AO

   =（-x1+（x1+x2+x3）/4，（y2+y3）/4，z3/4）

   =（（-3x1+x2+x3）/4，（y2+y3）/4，z3/4），

   CD=（x3-x2，y3-y2，z3），

   AF=AC+CD/2

   =（x2+（x3-x2）/2，y2+（y3-y2）/2，z3/2）

   =（（x2+x3）/2，（y2+y3）/2，z3/2），

   AG3=2AF/3

   =（（x2+x3）/3，（y2+y3）/3，z3/3），

   BG3=BA+AG3

   =（（-3x1+x2+x3）/3，（y2+y3）/3，z3/3），

   BO与BG3共线；……这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍；

8. 同理，CO与CG4共线，即四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点。

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子旭）》）——

设R为包含2^（1/2）的最小数环：

a.求R=？

b.证明，偶数环是R的真子环。

证——

a.

1. R={2a+b*2^（1/2）|a， b为任意整数}，显然R包含2^（1/2），且对加减法封闭，验证乘法：

   [2a+b*2^（1/2）][2c+d*2^（1/2）]=2[2ac+bd]+[2bc+2ad]2^（1/2）是R的元素，

   R为数环；

2. 设P为包含2^（1/2）的任意一个数环，则[2^（1/2）][2^（1/2）]=2是P的元素，则对任意整数a，b，2a+b*2^（1/2）是P的元素，则R是P的子环，即R为包含2^（1/2）的最小子环。

b.

1. 一切形如2a+0*2^（1/2）=2a，a为任意整数，是R的元素，则偶数环是R的子环；

2. 由于2^（1/2）不是偶数，则偶数环是R的真子环。

就到这里！