常系数线性微分方程解的结构问题？特征根和解的关系？

一、y''+py'+qy=0

由特征方程r²+pr+q=0得特征根r₁和r₂.

（1）如果实数根r₁≠r₂，则有两个线性无关的解y₁=e^(r₁x)和y₂=e^(r₂x)；

（2）如果实数根r₁=r₂=r，则有两个线性无关的解y₁=e^(rx)和y₂=xe^(rx)；

（3）如果一对共轭复数r₁,₂=α±βi，则有两个线性无关的解y₁=e^(αx)cosβx和y₂=e^(αx)sinβx.

把两个线性无关的解用任意实数C₁和C₂线性组合起来即可得齐次通解y=C₁y₁+C₂y₂.

二、y''+py'+qy=e^(λx)P(x)

1、非齐次通解的结构: 齐次通解+任意一个非齐次特解.

2、特解的设法: y*=x^kR(x)e^(λx)

（1）k的确定: 

①如果λ不是特征方程的根，k=0；

②如果λ是特征方程的单根，k=1；

③如果λ是特征方程的二重根，k=2.

（2）R(x)的确定: R(x)是与P(x)同次的多项式a+bx+cx²+....

3、特解求出来以后，代入原微分方程，确定出来常数，写出非齐次通解.

三、y''+py'+qy=e^(λx)(P(x)cosωx+Q(x)sinωx)

1、非齐次通解的结构: 齐次通解+任意一个非齐次特解.

2、特解的设法: y*=x^ke^(λx)[R₁(x)cosωx+R₂(x)sinωx]

（1）k的确定: 

①λ±ωi不是特征方程的根，k=0；

②λ±ωi是特征方程的根，k=1.

（2）R₁(x)和R₂(x)的确定: 都是与P(x)和Q(x)中更高次同次的多项式.

3、特解求出来以后，代入原微分方程，确定出来常数，写出非齐次通解.

以上规律，可推广到更高阶的常系数线性微分方程。