【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep35】第一次遭遇习题……
菲书第一次习题课，比较简单，一共九道题，今天聊前五道，重要的、需要记住结论的题目，老碧会标注。
重要结论什么的记熟了，以后学到级数什么的会更容易，当然许多题想要做得又快又好，必须的结论是一定得记清楚的。
25例题——第一次习题课，兴奋！
1.无穷小量的分类——前三道例题都给出了无穷小的类型
考虑无穷小量的定义——极限区域0的数列，由于未规定方向，所以在数轴上可以从右边向0趋近（由正数递减），可以从左边向0趋近（由负数递增），可以忽左忽右稳定在0的附近（波动状，时正时负），对应例题一中的三种无穷小——
——单调、递减、正数列——例子：1/n（n是自然数）；
——单调、递增、负数列——例子：-1/n（n是自然数）；
——波动，时正时负，稳定于0附近——例子：（-1）^（n+1）/n。
按照求数列极限的求法，我们只要任给一个小数e>0，都存在一个自然数N使得最终那个不等式成立即可，在这里即是说对任意n>N，|an-0|=|an|<e——
对1、2、3型，绝对值均为1/n，对任意小时e>0，我们要使得1/n<e，只要n>N>1/e即可，那么N的取值只要满足，大于从左边最靠近1/e一个正数即可。
于是引入复合E（p）表示不超过p的最大整数——
这个符号叫做取整函数——在后面会有用！要记住——
对整数z，E（z）=z，比如：E（3）=3；
对不是整数的数q，E（q）<q，比如，E（1/3）=0，E（-pi）=-4——打不出来希腊字母，pi是圆周率的读音。
2.给了第四种会不断波动的正数无穷小，给了我们构造波动形式的数列的思路
这一题这里用的方法是取最大值的方法，之后学了子列之后，还会有其他方法。
3.给出了第五种无穷小，依然是波动的——
记住这些例子，可以在证明一些对于数列的性质的证伪的时候能够举出例子，算是一些反例。
4.一道典型的数列极限证明题——放缩法
证明数列（n^2-n+2）/（3n^2+2n-4）的极限为1/3，正常思路，我们对于任意小数e>0，我们能得到一个N，使得n>N时，满足|（n^2-n+2）/（3n^2+2n-4）-1/3|<e即可——
通分|（n^2-n+2）/（3n^2+2n-4）-1/3|=|-（5n-10）/3（3n^2+2n-4）|；
我们发现，这个式子比较复杂，于是我们采用放缩法，将这个式子转化为一种比较简单的形式，因为我们只要能找到一个N就可以了，所以我们如果能找到一个比这个差大的值依然能得到N，满足不等式，都可以；
因为是分式，并且n的取值可以从1取到无限大，所以我们发现当n>2时，5n-10>0且3n^2+2n-4>0，所以，我们可以针对去掉绝对值符号的值（5n-10）/3（3n^2+2n-4）来考虑；
分式的放缩只要让分母变小，或者分子变大就可以得到一个新的式子，（5n-10）/3（3n^2+2n-4）<5n/9n^2=5/9n——只要n>2，不等式就成立；
要使|（n^2-n+2）/（3n^2+2n-4）-1/3|<5/9n<e，只要取n>N>5/9e，又由于在3中我们取了n>2，所以N取E（5/9e）+1与2之间的较大的数，即可。
我们此处引入常用符号max｛a，b｝——意思是，取a，b中的最大值；类似的min ｛a，b｝——取a，b中的最小值；以上题为例取N=｛E（5/9e）+1，2｝即可。
5.下面介绍一个重要的数列极限
这个极限极重要，这个结论在数学分析中会一再出现——要记住的哦！
求证a>1时，数列a^（1/n）的极限为1——看到a>1和幂的形式，自然会联想到伯努利不等式——这就是我们做题的时候要总结的所谓套路，都是套路！——
a>1，自然a^（1/n）>1，a^（1/n）-1>0；
可以写出a^（1/n）=1+m，m=a^（1/n）-1形式，则a=（1+m）^n；
由伯努利不等式：a=（1+m）^n>1+nm=1+n[a^（1/n）-1]，即a^（1/n）-1<（a-1）/n；
我们要对任意小数e>0，找到一个N，使得|a^（1/n）-1|=a^（1/n）-1<（a-1）/n<e，即n>N>（a-1）/e，取N=E（（a-1）/e）即可。
先说这五题，明天再继续聊后面几道题——与之后要学习的数项级数直接挂钩，所以滚瓜烂熟为好。
明天不见不散哦！
