画一个速度和时间的图像，面积就是路程

牛顿400、画一个速度和时间的图像，面积就是路程

 

数学上积分结果的本质是什么？——网友提问

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

…积、分、积分：见《牛顿353~358》…

…结、果、结果：见《牛顿105》…

…本、质、本质：见《欧几里得22》…

…
王希（1572人赞同了该回答，发布于2015-05-04 19:47）：…

数学君想了一下说：「你记着定积分的定义是什么吗？」「曲边梯形的面积……啊不是。老师好像说了个四部曲：分割、取点、求和和取极限。」

…不，定，积、分、积分，定积分，不定积分：见《牛顿353~397》…

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

…极、限、极限：见《牛顿202~321》…

 

「对，定积分就是无限细分和无限求和。

把区间等分为n份，认为每一个小区间都是不变的，这样每一个区间内的面积就可以看成一个矩形了。

用矩形的面积和来近似曲边梯形，再让最大区间长度的极限为0，就可以准确地计算面积了。」

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

 

「说来说去还是算面积啊？」题主扣着鼻子问。

「这是从函数图像上说的面积，但事实未必是面积。

比如说你画一个速度和时间的图像，那么所谓的面积就是路程；

你画一个力和位置的图像，如果力和运动方向一致的话，面积就是做的功；

你画一个线密度和位置的图像，面积就是质量……」

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…

…速、度、速度：见《伽利略3》…

（…《伽利略》：小说名…）

 

…时、间、时间：见《伽利略10》…

…力：见《欧几里得59》…

…位、置、位置：见《伽利略10》…

…运、动、运动：见《伽利略9》…

…方、向、方向：见《伽利略4》…

…功：见《伽利略44》…

…质、量、质量：见《伽利略5》…

 

「好厉害啊！可是如何知道定积分表达的意义呢？」赞叹之余，题主又抛出了一个问题。

…表、达、表达：见《伽利略40》…

…意、义、意义：见《欧几里得26》…

 

「刚才说的又忘了。」数学君无奈地说，「定积分其实就是无限细分和无限求和，它求的还是一个乘积。

比如说初中时候学的，匀速直线运动的路程等于时间乘速度，那么速度与时间的函数对时间做积分，本质上是把时间分成非常多的区间，认为每一段上都是匀速直线运动，然后套公式，最后把每一段的路程加起来。

其他你能想到的乘积有关的公式，定积分都有类似的意义。」

…公：见《欧几里得1》…

…式、公式：见《欧几里得132》…

…

 

评论：…

2020-05-28，愿君学习狂热：积分是求“面积”，但是x y的单位不同，可以有其他意义。比如速度、做工、伤害值等等。

2021-10-11，王旋：大学毕业10年的人重新看了一遍，感觉受到的高等教育总是在教我们做题技巧，根本不会让我们自主思考，更不会深入讲解问题的本质，甚至我觉得部分大学老师也未曾深入思考吧，感谢答主！

2021-07-26，野大生猫：大巴车的走停是任意的，怎么会有速度函数？

“一重积分∫[x1，x2] x dx也就是先微分dx（就是对x取无穷小），然后在x1到x2区间积分，而积分的实质就是x（高）乘以dx（底）等于面积的累和（从x1-x2区间）。

请看下集《牛顿401、二重积分的实质就是f（高）乘以面积（dx×dy），为体积的累和》”

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