【趣味数学题】复变函数积分

2021-09-19 12:44 作者:AoiSTZ23 0人读过 | 我要投稿

郑涛（Tao Steven Zheng）著

【问题】

使用以下不定积分（indefinite integral）

$%5Cint%20%7Be%7D%5E%7B(a%2Bib)x%7D%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Be%7D%5E%7B(a%2Bib)x%7D%7D%7Ba%2Bib%7D$

来同时推算出 $%5Cint%20%7Be%7D%5E%7Bax%7D%5Csin(bx)%20dx$ 和 $%5Cint%20%7Be%7D%5E%7Bax%7D%5Ccos(bx)%20dx%20$ 。

【题解】

由 $%20%7Be%7D%5E%7B(a%2Bib)x%7D%20%3D%20%7Be%7D%5E%7Bax%7D%20%5B%5Ccos(bx)%20%2B%20%20i%5Csin(bx)%5D$ ，

$%5Cint%20%7Be%7D%5E%7Bax%7D%20%5B%5Ccos(bx)%20%2B%20%20i%5Csin(bx)%5D%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Be%7D%5E%7B(a%2Bib)x%7D%7D%7Ba%2Bib%7D$

$%5Cint%20e%5E%7Bax%7D%5Ccos(bx)dx%20%2B%20%20i%20%5Cint%20e%5E%7Bax%7D%5Csin(bx)%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Be%7D%5E%7Bax%7D%20%5B%5Ccos(bx)%20%2B%20%20i%5Csin(bx)%5D%7D%7Ba%2Bib%7D$

将分子和分母乘以右边的共轭复数（complex conjugate）。

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cint%20e%5E%7Bax%7D%5Ccos(bx)dx%20%2B%20%20i%20%5Cint%20e%5E%7Bax%7D%5Csin(bx)%20dx%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%7Be%7D%5E%7Bax%7D%20%5B%5Ccos(bx)%20%2B%20%20i%5Csin(bx)%5D(a-ib)%7D%7B(a%2Bib)(a-ib)%7D%5C%5C%0A%26%3D%20%5Cfrac%7B%7Be%7D%5E%7Bax%7D%7D%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%7D%20%5Ba%5Ccos(bx)%20%2B%20%20ia%5Csin(bx)-ib%5Ccos(bx)%20%2B%20b%5Csin(bx)%5D%5C%5C%0A%5Cend%7Balign%7D$

通过匹配实数项（real terms）和复数项（complex terms），并加上积分中的任意常数（arbitrary constant），我们可以得出以下结论：

$%5Cint%20%7Be%7D%5E%7Bax%7D%5Csin(bx)%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Be%7D%5E%7Bax%7D%20%5Ba%5Csin(bx)%20-%20%20b%5Ccos(bx)%5D%7D%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%7D%0A%20%2B%20C$

和
$%5Cint%20%7Be%7D%5E%7Bax%7D%5Ccos(bx)%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Be%7D%5E%7Bax%7D%20%5Ba%5Ccos(bx)%20%2B%20%20b%5Csin(bx)%5D%7D%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%7D%0A%20%2B%20C%20$