实际上量子力学里比较难接受的概念是 "使用波函数描述粒子", 那么你说的这个波函数究竟是什么呢

可能有很多人不能接受 "能量是分立的而不是连续的" 这个概念, 实际上这个东西是数学推导时自然而然出现的, 而不是量子力学本来就这么规定的

波函数其实就是一个普通的复值函数, 输入是空间的一点(x,y,z), 输出的是关于粒子可能性和辐角的一个复数, 一个复数除了看作是a+bi, 更经常会看作 L*e^iθ

在波函数里, L^2代表了粒子出现在这个点的概率, 而θ在更深的关系里代表了粒子的动量(速度)

这里有一条视频可以直观地理解波函数是什么, 它和粒子的概率和动量有什么关系

Visualization of Quantum Physics (Quantum Mechanics)

https://www.youtube.com/watch?v=p7bzE1E5PMY (b站内有人搬运生肉, 我就懒得贴地址了)

可能会有人问: 既然是计算概率, 为什么要那么复杂搞一个复值函数呢, 明明概率是实数

在数学里面, 有一个很神奇的操作: 可以把两个看起来有某种联系的量合拼成一个复数 (比如说之前傅里叶级数里面说到的, 正弦函数的增幅和辐角两个量在经过繁琐的化简后得到了只含一个复常量的傅里叶级数)

而在量子力学中, 粒子的动量可以推动粒子概率的演化, 那么把动量和概率合拼成一个复值函数不就更加方便计算了吗 (不会的, 到头来你赢的是计算, 输的是头发)

波函数需要有两个注意的地方, 在上面视频截图中, 蓝色线条旋转的频率就是这个粒子的动量, 还有就是蓝色部分的体积就是粒子的概率, 并且总体积永远等于1

薛定谔方程是哪里来的傻{哔---}东西 (推荐跳过)

***  事实上, 我是完全没有学过波动光学的, 这里大部分东西都是套用维基的 ***

在经典力学中, 一个物体的总能量E可以表示为动能T和势能V的和

在波动力学中, 最普通的复值平面波表达为以下算式

对这个平面波分别对位置和时间求偏导得到:

其中, ▽^2是拉普拉斯算子

对位置求位置偏导这部分与动量有关, 根据德布罗意提出的物质波

那么得到

而对时间求偏导的这一部分与能量有关, 根据爱因斯坦提出的光波的能量关系式

那么得到

在经典力学的能量方程中, 左右同乘以ψ, 再把上述结果代入得到

在经典力学中有一个叫做哈密顿算符H的东西, 这个算符用于计算系统的总能量, 而同理量子力学中也存在一个哈密顿算符H_hat, 用于计算粒子的总能量那么以下式子可以写为

其中

比较详细地解读薛定谔方程

把薛定谔方程写完整就是这个样子的

基本常数: i是虚数单位, h_bar是约化普朗克常数, 等于普朗克常数h除以2π, 大约为1.0545718x10^-34 m^2 kg / s

必要数据: m是粒子的质量, V(x, t)是整个宇宙对粒子产生影响的势, 这里假设势会随时间变化而变化, 不过一般计算不会这样假设  势: 考虑电磁力, 引力等因素综合出来的一个场(函数), 并且已知万物都会倾向于往低势的地方移动

算符: ▽^2拉普拉斯算符 (实际上拉普拉斯算符写法是这样的△, 而▽叫做微分算符, 不过需要牢记▽^2和△是同一个东西), ∂/∂t偏导算符, 整个东西说明了波函数ψ在下一瞬间的状态跟现在的状态相差了多少, 波函数的演化(随时间变化)完全由偏导算符确定

波函数ψ: 一个包含粒子概率和动量的函数

一般愉快的玩耍过程

1.随便找一个不含时的复值函数(无穷处为0), 2.计算这个函数的模并把函数除以模的平方

这时候f已经符合了波函数的要求: 

然后再随便规定一个不含时的势函数V, 当然也可以直接设置为0 (势V为0解出来的波函数为自由粒子的函数, 而V不为0的话一般解出来是有无穷个波函数, 每一个函数对应着一个本征能量E, 但这是另一个话题了)

这时候就可以愉快地解薛定谔方程了

这个东西就是传说中的S-L问题, 解这个问题也挺简单的, 只需要把在回合结束前把fgo从后台完全退出, 重新进入游戏使用技能试图改变命运, 这就完成了一次SL

不, 其实完全不简单, 至于怎么解这个问题(Sturm-Liouville problem), 对于不同的V拥有不同的解法

接下来的几篇专栏就来稍微说一下在不同V的状态下怎么根据薛定谔方程求解波函数