数学知识在几何光学中的应用

Ⅰ.圆锥曲线的光学性质

从圆锥曲线的一个焦点发出光线，经过圆锥曲线反射一次后，反射光线（或反射光线的反向延长线）交于圆锥曲线的另一个焦点。（注：抛物线相当于离心率无限趋近于1的椭圆，此时另一个焦点在无穷远处，所以从抛物线的一个焦点发出的光线会相交于无穷远处，即反射光为平行光。）

下面从椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线来分类讨论。

• 椭圆

设椭圆方程x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)，A,B分别为左右焦点，E(x_0,y_0 )为椭圆上任意一点，过E做椭圆切线，再过E做切线的垂线，交长轴于F，记∠AEF为θ_1，∠BEF为θ_2。求证: θ_1=θ_2。

• 双曲线

设双曲线方程x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)，A,B分别为左右焦点，E(x_0,y_0 )为椭圆上任意一点，过E做椭圆切线，再过E做切线的垂线，交实轴于F，记∠BEF为θ_1，∠AEF的外角为θ_2。求证: θ_1=θ_2。

• 抛物线

设抛物线方程y^2=2px(p>0)，A为焦点，B(x_0,y_0 )为椭圆上任意一点，过B做椭圆切线，再过B做切线的垂线，交对称轴于D，过B做对称轴的平行线。求证: θ_1=θ_2。

Ⅱ.费马原理

费马原理最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出：光线传播的路径是需时最少的路径。按我的理解是，写出一个时间的函数，光总会选择这个函数取极值时的路径。费马定理不再只适用于光学范畴，这里只是用费马原理来解释同一介质中光沿直线传播、光的反射和折射定律。

• 同一介质中光沿直线传播

  理由：同一介质中速度不变，当路程最小时时间最短，又因为两点之间线段最短，所以光沿直线传播。
  

• 光的反射定律

过D做镜面的对称点D’，连D’C交镜面于E。此时总路程

S=AC+AD=AC+AD'≫CD'

当总路程最小时，α=β。

• 光的折射定律

这些都是高中解析几何和物理光学的知识，所以理解起来不难，我只是闲着没事干瞎玩。有些是自己想出来的，也有些解法是收到别人启发的，有什么不对的地方可以在评论区指出。