高维球与分子速率分布||Pi Day算个Pi

//今天是2021年3月14日，传说中的日。

//同时也是物理学之神A.Einstein的142周年诞辰。

//以及是玩黑洞的S.J.Hawking逝世3周年。

//在这一天我想写一些不太一样的内容。我告诉你n维球的表面积不仅与有关，还和气体分子速率分布有关，你是否会觉得奇怪？那么往下看下去吧...

常数，被定义为圆的周长与直径之比，广泛出现在各种计算、公式、模型中，是最广为人知的无理数、超越数。

而在热学中我们会了解到，单组分、平衡态的气体，分子在某个方向的速度分布满足以下麦克斯韦速度分布(这是一个概率分布函数)：

其中，是气体分子的质量，是温度，而是玻尔兹曼常数。可以取.

我们可以看到这是一个正态分布的形式。这很合理对吧。所以我们遇到了第一个关于的问题：速率分布函数里面的是怎么出现的？

我们知道，作为一个概率分布函数，是必须满足归一化的：

也就是说，一个分子出现这一方向所有可能速度分量的概率总和为1，这很显然。

在求积分 时，被积函数是没有初等形式的原函数的，但是可以用到一个巧妙的操作，将它化为对整个二维平面的积分，我在费曼讲义上第一次见到这种操作：

首先将积分平方化为对整个二维平面的积分，再把积分改写为极坐标，从而严格求出了结果。的出现就是由于取极坐标这一操作。

有了这个积分的值，再代入就不难验证前面的速度分量分布满足归一化了。这里再提一句，通过求得的这个积分式对偏导，我们可以求得高斯积分：

其中，系数需要分奇偶讨论：

记住这个结果，后面要用到它。

我们简单由速度分布推到速率分布：速率为的分子将分布在速度空间里以为半径的球表面，所以速率分布函数的形式应该是速度分布函数乘球表面积的形式：(注意是不带方向的速率！)

接下来我将告诉你一个比较奇怪的事实：我可以由热力学中的能均分定理和麦克斯韦速率分布推出n维球的表面积公式！

能均分定理是热力学中的一条重要定理，说的是热平衡态的气体每个自由度的平均动能是相同的，每个自由度平均每个分子的动能均为。自由度，大致可以理解为允许自由运动的方向，包括平动与转动：一个粒子，可以横着动，竖着动，前后动，这是3个自由度；如果这是一个分子，还可以在3个不同方向转动，也是3个自由度。

那么考虑n维空间的情况，如果只考虑平动，则在n维空间共有n个自由度，分子平均平动动能为

要计算速率分布函数，先考虑若n维球的表面积计算公式为

其中是待定系数。显然由对称性任意维空间任意方向的速度分量分布都和三维x方向一样，所以n维的气体速率分布为

接下来又根据前面讨论的能均分定理，

再利用前面高斯积分的结果：

得到

所以n维球的表面积公式是

还记得当初见到这种神奇操作是在物竞书上（好像是郑永令的国培）。当时一直感到疑惑，高维球表面积公式这个理应是纯数学的东西却可以由两条热力学规律导出。现在回过头来思考，其实能均分定理终究是一个定理，它是可以被证明的。而且从另一个角度考虑，其实我们也可以选择不使用能均分定理。直接利用速率分布函数的归一化：

从而直接得到

虽然这个结果和上面有一点点不一样，但是回头仔细看一下：

你会发现恰好有，所以前面两次的结果是完全相等的！球表面积公式应该是

其中，.

写到这里再看，其实能均分定理根本没有起到决定性作用。我有一种感觉，我们在默认各个方向的分子速度分量分布函数具有相同形式时，似乎也就默认以能均分定理作为大前提了。从而在后面步骤中根本没有使用能均分定理的必要。

另外，n维球的表面积公式一定可以通过纯几何导出，这一点是必然正确的，因此我们前面的操作，某种程度上可以说与能均分定理的证明的某些步骤在数学上等价。

那么这就是在这个  day我想说的一些与、球和热力学有关的故事。

参考文献

[1] Richard Feynman. The Feynman Lectures on Physics (The New Millenium Edition, Volume I). 上海：上海科技出版社，2013.4. 415~418.

[2] 忘了是哪里看的。

[3] 我自己远古时期的笔记。