代数方程与群：浅述一些基本问题的定性

不少初中、高中的同学都遇到过三次、四次方程如何求解的问题，以及为何一般的五次方程不能求根式解的问题；许多大学的同学也探寻过一般的五次和更高次的方程不能根式解的证明。我们今天将对这个领域的知识，进行一个条理性的梳理；我将要给出定性的叙述，而略过繁复的证明。读这篇文章，由于读者的水平参差不齐，需要用的方法是“只读自己能够懂的部分”。

第一个问题：一般的五次方程为什么不能求根式解？小读者们看不懂伽罗瓦理论，是否有其他方法来叙述？

不少人回答这个问题，一上来就是把伽罗瓦理论中的五次置换群S5正规子群的性质拿出来，导致读者一头雾水。这样的回答，虽然是理论上正确的，但却忽视了人正常理解问题的逻辑。因此，才会有那么多人寻求五次方程问题更加“初等”的叙述。

这里要定性地阐述这样两个事实：

一、所有叙述上更为“初等”的证明法，都不可能绕过置换群的性质来开展；事实上这些方法是把置换群换成了别的对象，置换群的性质换成了与其同构的其他对象的性质。

二、一般五次方程之所以没有根式解，最直接的原因是它系数的有理域（系数域）不能够通过一步一步开根号（根式扩域），最终得到根的有理域（根域）；而这种根式扩域不能达到根域的原因，根本上看是因为前后两个域自同构群的性质，即扩域前后两个域对应的伽罗瓦群的性质，进而归因于原方程伽罗瓦群的性质。最一般的五次方程，其伽罗瓦群是置换群S5.

（二）的叙述需要一些概念的补充。对于中学同学来说，有理域是个重要的概念：由一些可由代数运算得到有理数的无理数，各自乘上一个不同的有理数作为系数，再加上一个有理数；这样的一个代数形式，如果对四则运算封闭，则构成一个域，称作这些无理数的有理域，其中的无理数则是有理域的基。把以上的“无理数”换做不定变元（例如方程的系数），域的概念仍然成立，但是这些变元（因为或许是有理的）就未必是域作为线性空间的基。而域自同构群，则是任意交换域的基底之后仍得到域自身的变换，所构成的集合（可证明是群）。没有域的概念（以及域是有限维线性空间）和域自同构群的概念，看懂伽罗瓦理论是寸步难行的。

群和域都是比较抽象的对象，一般人不容易理解。数学功底好的人可以从域作为有限维线性空间和置换群作为有限群的“有限性”上看到“枚举”的解决方法；而伽罗瓦理论的证明，确实涉及了两个有限性：甲、对方程的根施行的所有置换，无论你改变成什么形式（三角函数也好椭圆函数也好），必然同构于置换群中的一个；乙、置换群是有限的，因此它的子群列是数目有限的，正规子群当然更加有限。

从不是那么抽象的角度切入，例如使用“预解式”这一古典的思路来看，“扩域”是对于庞大的预解式方程进行的分组分次序求解。至于根式扩域不能从系数域达到根域的原因，直观上看是因为对任意构造的预解式方程进行分解降次的时候，其中某些步不能够得到简单的开方方程，而得到的预解式方程却没有有理根；之所以中间步骤不能得到简单的开方方程，则是因为某两个群之间不存在（循环群形式的）商群，进而这会涉及正规子群的性质。这一段，则是从具体求解的方法来说的。

第二个问题：什么样的五次方程，乃至什么样的更高次方程，其具备根式解？我们又应当怎么样来求这个根式解？

定性地回答：其方程的伽罗瓦群是可解群的，或者说具备可递降到平凡群（或言恒等变换）的正规子群列的方程（至少一种递降法的各阶商群需要是循环群），具备根式解。其根式解的求法，与你所设计的递降的正规子群列（可能存在不止一种递降法）有关。

这里就延伸出三个小问题：如何判断方程的伽罗瓦群？以及判断方程的伽罗瓦群是不是可解群？如果是，则如何构造递降的正规子群列？

判断方程的伽罗瓦群，实际上是个不太容易的事情。一般抽象代数的课本上给出的例子，是使用西罗定理判断一个一元五次方程的伽罗瓦群是S5；但这个其实不是通法：用类似的方法能够判断一部分方程的伽罗瓦群，但每次都需要做一些（貌似神来之笔的）构造，此外也不能适用于所有情况。一般而言，判断方程的伽罗瓦群，需要穷尽其根的所有有理关系，例如各根之间的线性关系等等。笔者认为比较合适的方法，则是使用各种可能的方程伽罗瓦群的特征不变量（即用根的代数形式构造，对所有该伽罗瓦群的变换保持不变，却对任一不属于该伽罗瓦群的n次置换群的变换改变的代数式）来判别。这个判别法只涉及枚举群和判断构造出不变量满足的方程是否有有理根。[注：特征不变量和轨道（orbit）的概念有联系，但也有区别]。

目前，存在一些名声不广的专业软件，可以用一定的方法，判断出方程的伽罗瓦群；从给出的例子上来看，其用法既不是课本上的西罗定理，也不是特征不变量的形式计算。它应该是用群的某些变换，以数值形式的根代入变换的某个形式不变量中，考察该函数数值的有理性来判别的[似乎是STAUDUHAR’S METHOD]。纯用根与系数关系的代数运算来枚举特征不变量的方式，会存在一个问题在于计算量太大：特征不变量的次数等于伽罗瓦群的阶数，这个阶数>=n小于等于n!，可见是一个很大的数。

判断方程的伽罗瓦群是不是可解群，以及对于是可解群的情况该如何构造递降，这两个问题可以用一种方法解决，该法就是交换子群法。如给定一个方程的伽罗瓦群（要写成根的置换的形式），设其中的任意两个变换是x,y，则xyx^(-1)y^(-1)就是其交换子（注意这很容易计算），此交换子构成一个群即交换子群；不停地计算交换子群的交换子群，则要么该群不变，要么递降到1：如果进行到某一步后不变，则说明不是可解群；如递降到1，则给出一种正规子群列，此时要检查商群。

得到正规子群列后，即可按照它的指导来求解。这个过程是复杂的：要构造各个群的不变量，然后计算满足的方程，在下一个方程的系数中会依次加入上一个方程的根；由此逐步求解，直到得到根的一次式（线性组合），即可求出根本身。如果使用各阶拉格朗日预解式，形式上容易理解，但计算会比较繁杂。

第三个问题：对于不能根式求解的五次方程/高次方程，是否能用一些特殊函数引入一两个数值以后，把它转化到根式可解的方程上？或者更进一步，是否能用一些特殊函数来求解这些方程？乃至再进一步，是否可以存在一些特殊函数，原方程当不可根式解的时候以不能消除的特殊函数解存在，而当原方程可以根式解的时候，以根式解存在呢？

对这些问题的回答，其实都是肯定的，但实际过程则极其复杂。

对于第一和第二小问，它们的实质其实是一样的。如果能够用一个特殊函数引入一些数值，将本身不能根式解的方程联系到根式可解的方程，则一定能用这个特殊函数的某种对称式来表达原方程的根。以非常简单的语句来说明：因为本身不能根式解的方程，其预解式方程在递降的过程中某个方程将不是开方方程，“用特殊函数联系到根式可解的方程”实质上是把这个不是开方方程的方程赋予一个特殊函数解；因此该特殊函数的某种对称式必然符合“不是开方方程”的方程的所对应的变换，但这些变换不构成群而是陪集，于是可推知该特殊函数的某种对称式一定符合包含这些变换的“上一个”（也是最能刻画方程对称性的）群；因此就可以在有限步的代数变换后，构造出原方程的根。

对于第三小问，我们可以考虑高斯超几何函数。目前已经有高斯超几何函数形式的五次方程的解。而高斯超几何函数根据其中参数不同，又可以具体变成根式、指数函数等等许多函数；事实上高斯超几何函数是一类微分方程的解的总体形式。因此，我们可以相信在一些变换以后，可以用含有一些特定参数的超几何函数表达五次方程的根，而该特定参数与原方程的系数有关，并能在原方程的群是可解群的条件下=0或者某些常数，从而把这个函数等同于超几何函数表达的根式。当然，也可能存在其他类型的符合条件的函数。这个方向也是可以往下研究的。

第四个问题：用特殊函数表达高次方程解的必要条件是什么？应该从哪个方向向下研究？

过去有一种错误观点，认为用特殊函数表达高次方程解的关键在于存在有理的加法公式从而推导出与高次方程次数相同的倍元方程，这个观点的谬误之处在于忽视了方程的对称性与特殊函数对称性的联系，误以为次数是唯一的联系。

用特殊函数表达高次方程解的关键，实际上在于能否用该函数构造出符合代数方程伽罗瓦群（或其某个正规子群）的对称式。以下是几个例子：

先观三角函数的倍角方程（例如五倍角方程）：Cos(5a)=q，左边展开后是一个关于cos(a)的五次多项式，其只含五次三次和一次项，并且还有特殊关系作用于三次项和一次项。其五个根是xn=cos(a+2n*pi/5)，可以看到五个根都在角增加2pi/5的变换下相互改变；而每次增加2pi/5，相当于把xn换成xn+1，这是一个五次轮换。此外对于把2n*pi/5换成2pi-2n*pi/5的变换，x1和4，2和3发生了改变，而5不变，这是一个对换。这样的五次轮换和一个对换刚好对应C5*C2=M10=D10，正好就是五倍角方程的伽罗瓦群。

观模函数求解一般五次方程的解的形式，可以看到它是一个椭圆模函数交错相减的乘积式，这个式子就是交错群A5的不变量。它并不是椭圆模函数的倍元方程！椭圆模函数和五次方程的联系，在于模群和A5的联系！

五次方程的根，也可以用椭圆函数来构造，例如魏尔斯特拉斯P函数[Jacobi和Perron，注意该解法根的形式和椭圆模函数法构造的形式极为相似]。而更高次的方程，就要用到超椭圆函数，乃至用广义theta函数所构造的特殊函数，乃至号称可解一切代数方程基本形式的Fochs函数等等。这里椭圆函数（维尔斯特拉斯P函数、Jacobi椭圆函数等等）尚且存在有理的加法公式，再往后可能只存在一个拟加法公式，直至没有加法公式。求解高次的代数方程，不论使用什么特殊函数，其基本思路是一致的，就是用特殊函数的对称式构造An的不变量。

第五个问题：数值方法在研究代数方程形式的解问题上可有应用？

虽然看上去无论是根式解还是特殊函数解都不是一个数值问题，但数值方法仍然可能在研究代数方程形式解问题上得以应用，具体方法则是用数值形式的根辅助不变量的推测，以及猜测方程的伽罗瓦群。由于数值方法存在不准确的问题，我们猜完了还要证明，即写成形式符号的不变量，然后以代数的运算证明它属于某个域。

其次，面对特殊函数的问题，数值解也可用于排除某些特殊函数的组合（例如是否有虚部）等等。

第六个问题：实践上如何处理一个一般的代数方程求解问题？如果该问题不仅仅需要数值解。

解决方法首先是筛有理根（艾森斯坦因判别法），其次是筛重根（形式导数与原多项式的公因式）和试图在系数域内因式分解。把有理根去掉，重根取出来，系数域内因式分解拆出一些不可约多项式。那么整个问题就变成了一些不可约无重根多项式的问题，这样就适用测定伽罗瓦群并且试图求根式解或特殊函数解的方法。

总之，是要把复合的问题拆成单个问题（不可约无重根），然后对单个问题去按套路求解。讨论根式解和特殊函数解的问题，是用于不可约无重根的方程的，这是单个问题；对多个问题复合的方程，不应该想着不辨细处一个公式套下去。否则，会得到类似卡尔丹诺提出的一些整数=不能化简的多个根式和差的奇怪式子（但却是对的）。