Jensen零点公式

考虑一个  内全纯的函数 ， 记它在  内的零点个数为  （算上零点的重数），则根据经典的辐角定理，可得：

将它除以r后从0到R积分，由于左侧是实数，所以先对右侧取实部，

然鹅对r的积分过程，r会取遍所有零点的模，我们要验证取到这些r时并不会对积分结果造成影响：取  在  内的所有零点的模，并将他们从小到大排列：

我们打算证明对每个 

设  是  在圆  上的所有零点（多重零点按重数计算），那么它就可以被分解为

其中 是一个在该圆上没有零点的全纯函数，由此有

取  并积分后相减，得

因为  模长为  ，所以对每个  ，有

又由于

所以确实有

这也就证明了以下定理：

（Jensen零点公式）对  内全纯的函数  ，以  表示它在  内的零点个数（算上零点的重数），则

将右侧的积分用分部积分可得

设  为  在  内的所有零点，则有

由此便可得Jensen公式最常见的一种形式：