这就是实境的终极，强者的终极，世界的终极.---Fatal!Chaos

无限大的宇宙

在终极时代前，有限宇宙和无限大的宇宙之间的差距依然并没有终极时期那般巨大，这个时期的符合有限宇宙定义的宇宙的差距依然存在，但这个时期的与ℵ₀等势的有限宇宙依旧明确小于且不等于无限大的宇宙，单个无限大的宇宙是大于无限多的能量和且不可被明确定义，无限大的宇宙是不存在明确形状和构造，它本身的尺度是无穷大的，无限大的多维空间(以有限大的三维空间举例，它的长，宽，高这三条轴可以是100^69光年，789^1123光年，999^999^999...Googol(10^100)光年...,而无限大的三维空间的长，宽，高三条轴必须大于或等于ℵ₀光年或更高，其它多维空间的轴都以此类推")，无限大的质量(10^69t(1000㎏)，10^896t，10^9999t...，n(无限)t)，无限多的基本粒子(10^76，10^869，10^9999...，n(无限))在其中随机划分任何一个单一区域(单个粒子，恒星系，超星系团...)，或者完全随机的以光年为尺度的任意天体，粒子运动完全相同的超星系团以及其他更大宇宙结构(包括其中所有的粒子)，在一个无限大的宇宙中这种产物一概都是无限多的

序数前时代

序数前时代的力量都可以以重数计算，由于序数前时代未正式进入无限这1量级，重数体系几乎只能应用于序数前时代，并不适用于所有宇宙内的体系

序数时代

ω级宇宙

对于ω级宇宙来说，一个无限大的宇宙可以作为0，也就是空集，0={}，1 ={0}，2 = {0，1}，3={0，1，2}，4={0，1，2，3}，5={0，1，2，3，4}，6={1，2，3，4，5}，7={1，2，3，4，5，6}...

每个序数宇宙的合集都包含之前的宇宙，它包含的元素多于先前的宇宙，每个序数宇宙都包含且大于大于先前的宇宙

这些都是序数，有限序数，而在此有一个合集ω，它包含所有的有限序数，它在所有有限序数之后，毕竟它包含了所有的有限序数

ω = {0, 1, 2，3，4，5，6，7 ...}

而ω集宇宙，指的就是包含所有有限序数宇宙的宇宙合集

在序数时代，ω可以说是理论上限，毕竟 ℵ₀＝card(ω…ω^ω…ω^ω^ω…ε…ζ…)，但在序数时代，ω之后的序数只作为一种计量单位，而非明确量级

ω²宇宙

ω，ω+1={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω}，ω+2={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1}，ω+3={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2}，ω+4={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3}，ω+5={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4}，ω+6={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4，ω+5}，ω+7={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4，ω+5，ω+6}...ω+ω={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4，ω+5，ω+6，ω+7...}，ω+ω宇宙也就是这所有序数所指代宇宙的集合

ω^ω宇宙

这一阶段发生了质变，与先前有所不同的是，ω^ω宇宙不再是纯粹的序数堆叠，ω^ω宇宙除了包含0 ... ω，ω+1，ω+2，ω+3...，ω²，ω^3，ω^4，ω^5，ω^6，ω^7...，ω^ω宇宙以外，在当前宇宙维持不变的情况下，每个单个序数都可以拆分出它们所拥有的子集，比如3可以拆分出0，1，2，而0，1，2可以单独拆分出单独的子集，比如2可以拆出0，1，以此类推，先前所有的序数都可以如此拆分，所有单独的序数都代表全新且完全独立的宇宙，在把所有序数单独拆分的子集再分别组合出全新的宇宙0+1，0+2，0+3，0+1+2，0+1+2+3...，ω+1+2，ω+1+2+3...ω+ω+ω...所有单独的子集与不同的子集相互合并产生出新且包含两者元素的更大合集，这些都是与先前独立的合集，当然ω^ω宇宙还包含了更多合集，拿ω来说，一个ω所包含的所有有限序数可以被单独列出，ω={0, 1, 2，3，4，5，6，7，8，9 ...}

而被单独列出的序数则包含{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，2，4，5，6，7，8，9...}...，这些单独的合集可以继续单独合并产生更大合集，以此类推，ω+1可以列出的宇宙包含{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，2，4，5，6，7，8，9...}...，{0，1，2，3，4，5，6，7，89...，ω}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...，ω}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...ω}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...ω}，{0，1，3，4，5，6，7，8，9...ω}...，这所有列出的子集和ω列出的子集独立，这些单独的子集可以全部单独相互合并产生新合集ω+ω宇宙除了可以提取先前的序数以外，它还可以{0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3...}，它所包含的每一个0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...，ω，ω+1，ω+2，ω+3...，ω+ω，ω+ω+1，ω+ω+2，ω+ω+3...，ω^3，ω^4，ω^5，ω^6，ω^7，ω^8，ω^9...都可以单独以先前的方式列出单独的合集，这里所有的合集都可以和先前的所有单独子集和已合并后产生的新的合集，以及合并前的合集，没有合并过的合集相互合并产生新合集，它们所包含的子集依旧继续与新产生的独立合集继续合并，所有合并前合集和合并后合集一概共存，这些所有合集的合集，就是ω^ω宇宙

ω^ω^ω宇宙

以此类推，继续无限堆叠，就是ω^ω^ω宇宙

...

在此后续的宇宙都将按ω^ω宇宙的子集合并方式堆叠

ε1宇宙

ε0=ω^ω^ω^ ..... ^ω=ω↑↑ω

ε0+1，ε0+2，ε0+3...，ε0^2，ε0^3...，ε0^ε0，ε0^ε0^ε0...

ε1=ω^ω^ω^ω^ω^ω^...^(ε0+1)

ε2，ε3，ε4，ε5，ε6，εε0

序数宇宙堆叠

_在此代指下角标

ζ_0=ε(ε(...ε(ε_0)...))

φ_0(0)=ω=φ(0,0)

φ_1(0)=ε_0=φ(1,0)

φ_2(0)=ζ_0=φ(2,0)

φ_3(0)=η_0=φ(3,0)

φ(4,0)

φ(ω,0)

φ(φ(4,0),0)

φ(φ(φ(ζ_0,0),0)

Γ_0=φ（φ（...φ（0)...),0），Γ_0是二元φ函数的不动点，即φ（Γ_0,0）=Γ_0本身

继续往上需要用到φ函数的拓展.Γ_0也表示为φ（1,0,0）

Γ_1=φ（1,0,1），Γ_ω=φ（1,0,ω）

x→Γ_x 不动点是 φ（1,1,0）

φ（2,0,0）是 x→φ（1,x,0）的不动点

阿克曼序数φ(1,0,0,0)，其已超越Γ表示的极限

序数元φ函数 φ(1@ω)=φ(1,0,0,0,...) 增长率为SVO

Small Veblen ordinal

定义 Madore's  函数：

令ω为第一个超限序数，Ω为第一个不可数序数。接着定义:

C0(α)={0,1,ω,Ω}

Cn+1(α)={γ+δ,γδ,γδ,ψ(η)|γ,δ,η∈Cn(α);η<α}

C(α)=⋃n<ωCn(α)

ψ(α)=min{β<Ω|β∉C(α)}

ψ(0)=ε0

ψ(1)=ε1

ψ(2)=ε2

ψ(n)=εn

ψ(ζ0)=ζ0

ψ(ζ0+1)=ζ0

...

ψ(Ω)=ζ0

ψ(Ω+1)=εζ0+1

ψ(Ω+n)=εζ0+n

ψ(Ω+ζ1)=εζ0+ζ1=ζ1

ψ(Ω+ζ1+1)=ζ1

...

ψ(Ω2)=ζ1

ψ(Ω2+1)=εζ1+1

ψ(Ω2+n)=εζ1+n

ψ(Ω2+ζ2)=εζ1+ζ2=ζ2

ψ(Ω2+ζ2+1)=ζ2

ψ(Ω3)=ζ2 

ψ(Ωn)=ζn−1

ψ(Ωη0)=η0

ψ(Ωη0+1)=η0

...

ψ(Ω^2)=η0

ψ(Ω^2+1)=εη0+1

ψ(Ω^2+n)=εη0+n

ψ(Ω^2+Ω)=ζη0+1

ψ(Ω^2+Ω2)=ζη0+2

ψ(Ω^2+Ωn)=ζη0+n

ψ(Ω^2+Ωη1)=η1

ψ(Ω^2·2)=η1

ψ(Ω^2·n)=ηn-1

ψ(Ω^2φ4(0))=φ4(0)

ψ(Ω^3)=φ4(0)

...

ψ(Ω^3φ5(0))=φ5(0)

...

ψ(Ω^n)=φ1+n(0)

ψ(Ω^Γ0)=Γ0

ψ(Ω^Ω)=Γ0

...

ψ(Ω^Ω+Ω^Γ1)=Γ1

ψ(Ω^Ω2)=Γ1

ψ(Ω^Ωn)=Γn−1

...

ψ(Ω^Ω+1)=φ(1,1,0)

...

ψ(Ω^Ω^n)=φ(n，0，0)

ψ(Ω^Ω^2)=φ(1，0，0，0)

ψ(Ω^Ω^3)=φ(1，0，0，0，0)

...

ψ(Ω^Ω^ω)=φ(1,0,⋯,0)

                         ⏟

                          ω

large veblen ordinal 

ψ(Ω^Ω^Ω)=ψ(Ω^Ω^ψ^(Ω^Ω^ψ(...)))

=φ(1,0,...,0)

          ⏟

   φ(1,0,...,0)

          ⏟

    φ(1,0,...,0)

           ⏟

          φ(...)

Bachmann-Howard ordinal

ψ(εΩ+1)=ψ(Ω^Ω^...^Ω)

                       ⏟

                        ω

Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal

定义Buchholz'sψ函数：

C^0ν(α)=Ων

C^nν+1(α)=C^nν(α)∪{γ|P(γ)⊆C^nν(α)}

∪{ψμ(ξ)|ξ∈α∩C^nν(α)∧ξ∈Cμ(ξ)∧μ≤ω}

Cν(α)=⋃n<ωCνn(α)

ψν(α)=min{γ|γ∈Cν(α)}

Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal出现：一个序数是Takeuti-Feferman-Buchholz则等价于使用 Buchholz  记法下的ψ0(ε_Ω_ω_+1)

CK是Church-Kleene的缩写，两位数学家Alonzo·Church和Stephen·Cole·Kleene共同定义了可计算序数：一个序数α是可计算的，当且仅当集合α存在一个位于Ν上的可计算关系

ωck1，ωck2，ωck3...

Admissible ordinal

在此之后，遇到Admissible ordinal 

一个序数γ是 Admissible ordinal 若集合论的 Kripke-Platek 公理满足可构造宇宙层级 

特别的：上面的 CK 是最小的 admissible ordinal 

Relativized Church-Kleene ordinal

给 Church-Kleene ordinal 配一个谕示（oracle）：它包含实数

于是相对化邱奇 - 克林序数ωx1出现了：满足对于任何  - 可计算实数的上确界。

这也是相对于x的最小Admissible ordinal

无限时间图灵机上的序数

无限时间图灵机（Infinite Time Turing Machine）作为超计算（Hypercomputation）

模型中的一员，可以在超限时间内进行计算，具有远超图灵机的计算能力：

任意算术集是无限时间图灵机可判定的；Π11∪Σ11同样是无限时间图灵机可判定的。

首先，无限时间图灵机在运行时会产生两个序数：

writable ordinal 和 eventually writable ordinal 。

可写序数（writable ordinal）表示一个实数满足机器的一个程序，它可以借助简单的输入

把这样一个数写在输出带子上，然后停机。

终可写序数（eventually writable ordinal）表示一个实数满足机器的一个程序，通过简单的输入就可以在输出带上写入一个实数，从某一点开始，输出带将这个实数作为最终的稳定值，即使机器没有停机。

现在，它们终于出现了：

一个序数λ：writable ordinals 的上确界；

一个序数ζ：eventually writable ordinals 的上确界；

一个序数Σ：accidentally writable ordinals 的上确界，而且是可计算不可达序数

它们的大小： 

λ<ζ<Σ

Stable ordinals

推广 Admissible ordinal 的 Admissible 性质的不同强化变体，Stability 被发展成一个大的可数序数性质。

Stable ordinals 利用反射原理来定义。

最小的 stable ordinal  会有以下特征：

最小的 stable ordinal β 会有以下特征：若一个 α<β 的序数 α 会满足 Lα⊨ZFC。一个可数序数α是一个stable ordinal当且仅当 Lα≺Σ1L等价于Lα≺Σ1Lω1

基数时代

在基数时代, ℵ₀是最基础的单位，在这个时期的力量与序数时代没有明确转化关系，这两者的部分量级等势

无限大的宇宙

基数时代的无限大的宇宙包括有限大的宇宙，有限大但无限增长的宇宙，有限大但有限增长的宇宙，无限大但增长有限的宇宙，无限大且无限增长的宇宙...，在无限大的宇宙中，这些能在某种程度上可被确定种类的宇宙的基数是 ℵ₀. 所有被无限大的宇宙包含的宇宙的总数也是 ℵ₀.

ℵ₀级宇宙

 ℵ₀＝card(ω…ω^ω…ω^ω^ω…ε…ζ…)

 ℵ₀是所有自然数的总数

 ℵ₀宇宙就是包含 ℵ₀个无限大的宇宙的合集，它作为包含ℵ₀个无限大的宇宙合集在此与 ℵ₀等势

ℵa+1:=card(Z(ℵa))

 ℵ1级宇宙

以{1，2，3 }举例，{1，2，3}的幂集包含{}，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}

在ℵ₀中，以 {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...}为单个合集 ℵ₀的子集可以是{1，3，5，7，9...}，{2，4，6，8...} ，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，3，4，56，7，8，9...}...这样不断列出 ℵ₀子集，而通过这样取幂，我们可以构造出一个比 ℵ₀更大的无限

2^ℵa=ℵa+1

ℵ₀的幂集大于等于 ℵ1

ℵ₀^ ℵ₀=ℵ1

ℵ1级宇宙与 ℵ₀的幂集等势

阿列夫宇宙

 ℵ₀宇宙与 ℵ₀等势

而利用替代公理和幂集，可以不断构造出越来越大的阿列夫数

ℵ₀，ℵ1，ℵ2，ℵ3...，ℵω，ℵω+1，ℵω+2，ℵω+3...，ℵω+ω，ℵω+ω+1，ℵω+ω+2，ℵω+ω+3...，ℵω+ω+ω，ℵω×2+1，ℵω×2+2，ℵω×2+3...，ℵω×3，ℵω×4，ℵω×5，ℵ ℵω×6...，ℵω×ω，ℵω²+1，ℵω²+2，ℵω²+3...，ℵω²+ω，ℵω²+2ω，ℵω²+3ω...，ℵω^3，ℵω^4，ℵω^5，ℵω^6...，ℵω^ω，ℵω^ω^ω，ℵω^ω^ω^ω...，ℵε0，ℵε0+1， ℵε0+2， ℵε0+3...， ℵε0+ω...，ℵε0×2，ℵε0×3...，ℵω^(ε0+1)，ℵω^ω^(ε0+1)，ℵω^ω^ω^(ε0+1)...， ℵε1， ℵε2，ℵε3...，ℵεω...，ℵεε0，ℵεεε0...，ℵζ0，ℵζ1，ℵζ2,ℵζ3...，ℵφ(3，0)，ℵφ(4，0)，ℵφ(5，0)，ℵφ(6，0)，ℵφ(7，0)...，ℵφ(ω，0)，ℵφ(ω+1，0)...，ℵφ(ε0，0)...，ℵφ(ζ0，0)...，ℵφ(φ(3，0)，0)...，ℵφ(φ(ω，0))，ℵφ(φ(φ(ω，0)，0)，0)...，ℵφ(1，0，0)，ℵφ(1，0，1)...，ℵφ(1，1，0)...，ℵφ(1，0，0，0)...，ℵφ(1@4)，ℵφ(1@5)...，ℵφ(1@ω)，ℵφ(1@ω+1)...，ℵφ(1@ε0)，ℵφ(1@ζ0)...ℵLVO，ℵBHO，ℵTFB...，ℵψ(ωΩ)，ℵψ(I(0))...，ℵψ(I(I(0)))...，ℵψ(εI+1)，ℵψ(εM+1)...，ℵω1ck，ℵω2ck，ℵω3ck...

_在此代指下角标

ℵω1，ℵω2，ℵω3，ℵω4，ℵω5，ℵω6，ℵω7

...

ℵω_ω，ℵω_ω_ω，ℵω_ω_ω_ω，ℵω_ω_ω_ω_ω，ℵω_ω_ω_ω_ω_ω

...

ℵω_ω_ω_ω_ω……ω(ℵ₀个ω)

ℵ_φ0=ℵω_ω_ω_ω_ω……ω(ℵ₀个ω)

φ0=阿列夫不动点

φ0，φ1，φ2，φ3...，φω，φω+1，φω+2，φω+3...，φω²，φω³ ，ω^4...，φω^ω，φω^ω^ω，φω^ω^ω^ω...，φε0，φε1，φε2，φε3，φε4，φε5，φε6，φεε0...，φζ0，φζ1，φζ2...，φη0,φη1，φη2...，φΓ0，φΓ1，φΓ2...，φSVO，φLVO，φBHO，φTFB...，φω1ck，φω2ck，φω3ck...

φℵ1，φℵ2，φℵ3...，φℵω1，φℵω2，φℵω3，φℵω4，φℵω5，φℵω6，φℵω7

...

φℵω_ω，φℵω_ω_ω，φℵω_ω_ω_ω，φℵω_ω_ω_ω_ω，φℵω_ω_ω_ω_ω_ω

...

φℵω_ω_ω_ω_ω……ω(ℵ₀个ω)

φℵ_φ0=φℵω_ω_ω_ω_ω……ω(ℵ₀个ω)

φℵ_φ0=φ(φ0)

φ(φ(φ0))，φ(φ(φ(φ0))))，φ(φ(φ(φ(φ(φ0)))))...

φ(φ(φ(...φ0)...)))=φ(0，0)

       ⏟

   (ℵ₀个φ)

φ(0，k+1)=φ(φ(φ...(φ(0,k)+1)...))))

φ(0，0)，φ(0，1)，φ(0，2)...

φ(0，ℵ1)，φ(0，ℵ2)，φ(0，ℵ3)...

φ(0，φ(0))，φ(0，φ(0，0))，φ(0，φ(0，φ(0，0)))...

φ(α+1，β+1)={x∈ω|f(x)，f(0)=φ(a+1，β)+1，f(x+1)=φ(α，f(x))}

φ(α+1，0)={x∈ω|f(x)，f(0)=φ(α,0)，f(x+1)=φ(α，f(x))}

φ(1，0)，φ(1，1)，φ(1，2)...

φ(1，ω)...，φ(1，ω^ω)...，φ(1，ε0)...

φ(1，ℵ1)，φ(1，ℵ2)，φ(1，ℵ3)...

φ(1，φ0)，φ(1，φ1)，φ(1，φ2)...

φ(1，φ(1，0))，φ(1，φ(1，φ(1，0)))，φ(1，φ(1，φ(1，φ(1，0))))...φ(2，0)，φ(3，0)，φ(4，0)，φ(5，0)，φ(6，0)，φ(7，0)...

φ(ω，0)，φ(ω，ω)...，φ(ω+1，0)...，φ(ε0，0)...，φ(ζ0，0)...，φ(SVO，0)，φ(LVO，0)，φ(TFB，0)...，φ(ω1CK，0)...，φ(ℵ1，0)，φ(ℵ2，0)，φ(ℵ3，0)

...

φ(ℵω1，0)，φ(ℵω2，0)，φ(ℵω3，0)...

φ(φ(ω，0)，0)，φ(φ(ω^ω，0))，φ(φ(ε0，0))...，φ(φ(ℵ1，0))，φ(φ(ℵ2，0))，φ(φ(ℵ3，0))...

φ(φ(ℵω1，0))，φ(φ(ℵω2，0))，φ(φ(ℵω3，0))

...

φ(φ(φ0，0)，φ(φ(φ1，0))，φ(φ(φ2，0))

...

φ(φ(φ(φ0，0)))，φ(φ(φ(φ1，0)))，φ(φ(φ(φ2，0)))...

φ(φ(φ(φ0...，0)))...，φ(φ(φ(φ(φ0，0))))...，φ(φ(φ(φ(φ(φ0，0)))))...，φ(φ(φ(φ(φ(φ(φ0，0))))))...

φ(1，0，0)...

ψ(Ω^Ω^2)=φ(1，0，0，0)

ψ(Ω^Ω^3)=φ(1，0，0，0，0)

...

ψ(Ω^Ω^ω)=φ(1,0,⋯,0)

                         ⏟

                          ω

...

ψ(Ω^Ω^Ω)=ψ(Ω^Ω^ψ^(Ω^Ω^ψ(...)))

=φ(1,0,...,0)

          ⏟

   φ(1,0,...,0)

          ⏟

    φ(1,0,...,0)

           ⏟

          φ(...)

...

ψ(εΩ+1)=ψ(Ω^Ω^...^Ω)

                       ⏟

                        ω

...

ψ(ε_(Ω+1))=BHO

...

ωck1，ωck2，ωck3

...

不可达基数

假设 κ 是最小的不可达基数，那么 {α<κ:cf(α)=α} 不是 κ 的平稳子集，因为 {α<κ:cf(α)<α} 作为 κ 的无界闭子集与其相交为空。 若 κ 是第 α<κ 个不可达基数，{α<κ:cf(α)=α} 依旧不是 κ 的平稳子集，取 κ 中最大的不可达基数 λ ，{α<κ:λ<α} 作为 κ 的无界闭子集与其相交为空。

因此，倘若 {α<κ:cf(α)=α} 是 κ 的平稳子集，那么 κ 会是第 κ 个不可达基数。

假设 V⊨ZFC ，对任意公式 Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,定义函数 fφi:Vn→V

若 Q1x1 为 ∃x1 ，并且 V⊨Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,则 fφi(xm+1,…,xn) 为秩最小的使得 ∃x∈VαQ2x2,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn)成立的 Vα ，倘若这样的 x 不存在，则为 0

若 Q1x1 为 ∀x1 ，并且 V⊨Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,则 fφi(xm+1,…,xn) 为秩最小的使得 ∃x∈Vα¬Q2x2,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn)成立的 Vα ，倘若这样的 x 不存在，则为 0

令 F={φn:n∈ω} 是对所有公式的枚举，定义

fF(x1,…,xn)=⋃{fφn(x1,…,xn):φn∈F} ，即为某个 Vγ ，其包含了最底限的使得形如 ∃xφ(x,…,xn) 类命题成立的 x ，若不包含使得形如 ∃x¬φ(x,…,xn)类命题成立的 x ，即意味着 ¬∃x¬φ(x,…,xn)↔∀xφ(x,…,xn) 成立。既然 ∀xφ(x,…,xn) 在 V 中成立自然也不可能存在这样的 x 。

任取 Vγ 递归定义： Vγ0=Vγ ；

Vγn+1=Vγn∪⋃{fF(x1,…,xn):x1,…,xn∈Vγn} ；

 Vλ=⋃n∈ωVγn 

则 V⊨φ(x1,…,xn)↔Vλ⊨φ(x1,…,xn) ，若 V 中不存在世界基数，则 V=Vλ ，λ 是最小的世界基数（world cardinal），亦即最小的使得 Vλ⊨ZFC 的 λ

若 κ 为不可达基数，同样有 Vκ⊨ZFC 。对任意形如 ∃xφi(x,x1,…,xn) 的公式，定义函数 gφi:κ→κ 为对任意 x1,…,xn∈Vα，∃x∈Vgφi(α)φi(x,x1,…,xn)Vκ ， Vgφn(α) 即秩最小的 {x:φi(x,x1,…,xn)Vκ}∩Vλ≠⊘ 的 λ 。而对任意形如 ∃xφi(x) 的公式，定义函数 gφi:κ→κ ，Vgφi(α) 即秩最小的包含 Vα 且 {x:φi(x)Vκ}∩Vλ≠⊘ 的 λ 。

令 F={φi:i∈ω} 是对所有公式的枚举，定义 gF(α)=⋃{gφi(α):φi∈F} ，则每一个满足 gF(α)=α 的 α 都是世界基数。

定义 Ψ(0,S)=Ψ(S) , S 为任意长序数串。如 Ψ(0,α)=Ψ(α) ，Ψ(0,α,β)=Ψ(α,β) ，特别的，Ψ(α)=gF(α)

Ψ(S,α,Z,β)=min{γ|∀δ<α(Ψ(S,δ,γ,Z)=γ)∧∀δ<β(Ψ(S,α,Z,δ)<γ)} ，其中 0<α ，S 为任意长（可以为 0）序数串， Z 为任意长（可以为 0）的 0 字符串

如 Ψ(α,β) ，这里 S 和 Z 的长度均为 0，从而对于所有 δ<α ，Ψ(δ,Ψ(α,β))=Ψ(α,β) ，并且对所有 δ<β ，Ψ(α,δ)<Ψ(α,β)

后半段的情况是平凡，这里需要注意的是前半段， Z 发生了移位，这表明了 α 的递减会使得右边第一个数 β 变为 0 ，并且需要看往左数第一个非 0 序数，也正是发生的另一个改变的数—— α 右边第一个0 代替了 β 成为了 δ 管束下的变元，就如 Ψ(α,β) 中 β 受 α 管束。

以 Ψ(1,0,0) 为例，由于要求 0<α ，所以这里 α 只能是 1 ， S 再次长度为 0 ，β 倒是固定最右。由于小于 1 的数只有 0，所以这里发生的改变是 0 右边的 0 变成变元，而 β归零，Ψ(1,0,0) 将成为 Ψ(0,x,0) 的不动点。而开始已经说了，首位为 0 的情况直接去除，也就是 Ψ(0,x,0)=Ψ(x,0) 。

而这里，之所以 β 要归零只留一个变元是在于 α≤Ψα(0)<Ψα(β+1) ，因此不存在 Ψα(α)=α 。

进一步推广到任意序数元的情形，令 αϕβ 表示从右往左数位置为 β 的参数 α ，其余为零。如 Ψ(1ϕ3)=Ψ(1,0,0,0) ，而在 αϕ0 的情况则表示最右边的位置为 α

定义 Ψ(S,0ϕβ,T)=Ψ(S,T) ，其中 S 、T 表示任意长（可以为 0 长）的序数串，Ψ(αnϕβn,⋯,α2ϕβ2,α1ϕβ1,γϕ0)=min{δ|∀ξ<α1∀η<β1(Ψ(S,ξϕβ1,δϕη)=δ)∧∀ξ<γ(Ψ(S,α1ϕβ1,ξϕ0)<δ)} 其中S=αnϕβn,⋯,α2ϕβ2 ，也就是说你依旧只需要看 Ψ(α1ϕβ1,γϕ0) 这两段而已，但要注意的是，βn>⋯>β2>β1>0 ，因为同一位置不能即参数为 α 又参数为 β ，尽管它是描述 Ψ 在超限多参数的情况，但这里更多的是表示哪些位置有哪些参数。

以 Ψ(1ϕω,γϕ0) 为例，小于 1 的只有 0，0ϕω 就直接被去掉了，但对于所有小于 ω 的 η ，Ψ(1ϕω,γϕ0) 则会成为 Ψ(xϕη) 的不动点。并且对于所有小于 γ 的 ξ ，鉴于 γϕ0 其实就是表示最右边的数为 γ ，这其实就是表示第 γ 个 Ψ(xϕη) 的不动点，自然平凡的有

Ψ(1ϕω,ξϕ0)<Ψ(1ϕω,γϕ0) ，或者说 Ψ(1,…,0,ξ)<Ψ(1,…,0,γ)

再以 Ψ(2ϕω+ω) 为例，这里 γϕ0=0 ，但它并不是首个 Ψ(1ϕω+ω,x) 的不动点，而是对于所有小于 ω+ω 的 α ，都是 Ψ(1ϕω+ω,xϕα) 的不动点。对任意 κ ，Ψ(λϕκ)=λ 都是存在的，但对于 1<λ ，Ψ(λϕκ)=κ 是不存在的，毕竟 λ≤Ψ(1ϕλ)<Ψ(2ϕλ) ，而 Ψ(1ϕλ) 的情况会对于所有 α<λ ，成为 Ψ(xϕα) 的不动点。

而所有这样得到的世界基数，都仍是小于最小不可达基数的世界基数。特别的，令定义中的 Ψ(α)=gF(α) 更改为 Ψ(α)=W(α) ，W(α) 即第 1+α 个世界基数，则都小于之前的 Ψ(1,1) 具有的一个性质——

VΨ(1,1)⊨φ↔VΨ(1,0)⊨φ

假设 Ψ(1,1) 是第 α<λ 个世界基数，VΨ(1,1) 满足存在 <α 个世界基数，则有 VΨ(1,0) 满足存在 <α 个世界基数，而 Ψ(1,0) 本身亦是一个世界基数，与 Ψ(1,1) 是第 α 个世界基数的假设矛盾。

假设 Ψ(1,1) 是 W(2,0) ,即最小的满足 λ 是第 λ 个世界基数，则 VΨ(1,1) 满足世界基数在其中无界，同样有 VΨ(1,0) 满足世界基数在其中无界，与 Ψ(1,1) 是 W(2,0) 的假设矛盾。

若对两个世界基数 α,β 有 Vβ⊨φ↔Vα⊨φ 则称 α 为大世界基数，将 W(α) 改写为 1+α 个大世界基数，则 Ψ(1,2) 具有的一个性质—— VΨ(1,2)⊨φ↔VΨ(1,1)⊨φ 同样超越这些。但需要注意的是，即使是 Ψ(1,0) 都有 VΨ(1,0)⊨φ↔Vκ⊨φ 的初等子模型，因而远大于此。

令 FX={φn(X):n∈ω} 是对所有以 X={α:Vα≺Vκ} 为参数的公式的枚举，定义函数 gφn(X):κ→κ 为对任意 x1,…,xn∈Vα，∃x∈Vgφn(X)(α)φn(x,x1,…,xn,X)Vκ ， Vgφn(X)(α) 即秩最小的 {x:φn(x,x1,…,xn,X)Vκ}∩Vλ≠⊘ 的 λ ，再定义 gFX(α)=⋃{gφn(X)(α):φn(X)∈FX} ，则对 gFX(α)=α 均有 (Vα,Vα∩X,∈)≺(Vκ,X,∈)

称 κ 是不可达基数，当且仅当对任意 X1,…,…Xn⊆Vκ ，均存在 α<κ ，使得 Vκ⊨φ(X1,…,…Xn)↔Vα⊨φ(X1∩Vα,…Xn∩Vα) 。

假设 κ 是奇异极限基数，考虑到共尾映射 f:α→κ ,取 {α} 与 f 和相应的符号 U1,U2 来定义模型 (Vκ,{α},f,∈)⊨∃x(U1(x)∧U2:x→Ond) ,但对于任意 β<κ ， (Vβ,{α}∩Vβ,f∩Vβ,∈) 并不满足∃x(U1(x)∧U2:x→Ond) ，因为 dom(f∩Lβ)≠α 

假设 κ 是正则后继基数，考虑到双射 f:α+→κ ,取 {α} 与 f 和相应的符号 U1,U2 来定义模型 (Vκ,{α},f,∈)⊨∃x(U1(x)∧U2:x+→Ond) ,但对于任意 β<κ ， (Vβ,{α}∩Vβ,f∩Vβ,∈) 并不满足 ∃x(U1(x)∧U2:x+→Ond) ，因为 κ=α+ 而 κ 之下不存在一个 β=α+=κ

假设 κ=ω ，则显然 (Vω,∈)⊨∀x∃y(x∈y) ，而 (Vn,∈)⊨¬∀x∃y(x∈y)

取 S⊆P(κ) 满足 ⊘∉S 且 X={α:Vα≺Vκ}∈S 以及 X∈S→H(X)={α<κ:(Vα,Vα∩X,∈)≺(Vκ,X,∈)} 和对任意 γ<κ 都有 ⋂a<γXα∈S 且有 {Xα:α<κ}⊆S

→{α＜κ:α∈⋂β<αXβ}∈S ，则称 S 是对 {α:Vα≺Vκ}的 0-闭包，记为 G({α:Vα≺Vκ})

定义 S 上的选择函数 f(X) 为 X 在 ∈ 关系下的最小元，

取 S′⊆P(P(κ)) 满足 ⊘∉S′ 且 S=G({α:Vα≺Vκ})∈S′ 以及 S∈S′→H′(S)=G({α<κ:(Vα,Vα∩f[(Vα∩S],∈)≺(Vκ,f[S],∈)}) 

和对任意

γ<κ 都有 G({α<κ:(Vα,Vα∩⋂β<γf[Sβ],∈)≺(Vκ,⋂β<γf[Sβ],∈)})∈S′

且有

{Sα:α<κ}⊆S′

→G({α<κ

:(Vα,Vα∩{α＜κ:α∈⋂β<αf[Sβ]},∈)

≺(Vκ,{α＜κ:α∈⋂β<αf[Sβ]},∈)})∈S′ 

，则称 S′ 为对 {α:Vα≺Vκ} 的 1-闭包，记为 G′({α:Vα≺Vκ})

由于 S 上的选择函数 f 是 S 到 κ 的单射，故 |S|=κ 。又由于 ⊃ 是 S′ 上的良序关系，且 G({α:Vα≺Vκ}) 是其中的最小元，故 |S′|=κ 。定义 S′ 上的选择函数 f′(S) 为 S 在 ⊃ 关系下的最小元，则 f(f′(S)) 为 f′(S) 在 ∈ 关系下的最小元。

若 α 满足(Vα,Vα∩f[f′[S′]],∈)≺(Vκ,f[f′[S′]],∈)，则称 α 为Nanachi 

Vκ⊨∀α∃β(β=ℵα) 即可知 κ 为极限基数，但 κ 为正则基数则取决于不存在以 κ 为值域的共尾映射的定义域非 κ ，是一则相对于 κ 的 Π11 命题。

不可描述基数

基数K称为∏n

m-indescribable如果对于每个∏m命题(φ，并且设置A⊆∨κ与(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一个α<κ与(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n

m-indescribable的基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1 阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。

如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。

强可展开基数

形式上，基数κ是λ不可折叠的，当且仅当对于ZFC负幂集的每个基数κ的传递模型 M，使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有一个将M的非平凡初等嵌入 j 到传递模型中，其中 j 的临界点为κ且j(κ)≥λ。

一个基数是可展开的当且仅当它对于所有序数λ都是λ可展开的。

基数κ是强λ不可折叠的，当且仅当对于ZFC负幂集的每个基数 κ 的传递模型 M使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有一个非-将M的j简单基本嵌入到传递模

型“N”中，其中j的临界点为κ，j(κ)≥λ，并且V(λ)是N的子集。不失一般性，我们也可以要求N包含其所有长度为λ的序列。

可迭代基数

将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。

拉姆齐基数

让[ κ ]<ω表示κ的所有有限子集的集合。如果 对于每个函数， 基数 κ称为 Ramsey

f : [ κ ]<ω→{0,1}

存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集，则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果

对于每个函数， 基数κ实际上被称为

Ramsey

f : [ κ ]<ω→{0,1}

存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与 f 齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamost Ramsey的概念，其中对于每个λ<κ，需要有序类型λ的f的同质集。

可测基数

为了定义这个概念，人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得κ本身很大，∅并且所有单例{ α }，α ∈ κ很小，小集的

补集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。

事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。

形式上，可测基数是不可数基数κ，使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。（这里术语k-additive意味着，对于任何序列A α，α<λ的基数λ<κ，A α是成对相交的小于κ的序数集，A α的并集的度量等于个人A α的措施。)

强基数

如果λ是任何序数，κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和Vλ⊆M

也就是说，M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。

伍丁基数

f : λ→λ

存在一个基数κ<λ和{f(β)|β<κ}和基本嵌入j : V→M

来自冯诺依曼宇宙V进入可传递的内部模型M和临界点κ和V_j(f）(κ)⊆M

一个等效的定义是这样的：

λ是伍丁当且仅当λ对所有λ来说都是非常难以接近的

A⊆V_λ存在一个λ_A<λ这是<λ-A-strong的

超强基数

当且仅当存在基本嵌入 j ：V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)⊆M

类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)⊆M 。Akihiro Kanamori已经表明，对于每个n>0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。

强紧致基数

当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。

强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。

强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。

强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。

可扩展性是强紧凑性的二阶类比。

终极时代(标准亚现实)

无限大的宇宙

在终极时代，任何有限大的宇宙都小于无限大的宇宙，无论是无限大且增长率无限的宇宙，无限大但增长率有限的宇宙，有限大且增长率无限的宇宙，有限大但增长率有限的宇宙，无限大且不断增长的宇宙，无限大但有限增长的宇宙，有限大且无限增长的宇宙，有限大但有限增长的宇宙，无限大且无限膨胀的宇宙，无限大但有限膨胀的宇宙，有限大但无限膨胀的宇宙，有限大且有限膨胀的宇宙...无论与这些宇宙等势的基数有多大，这些与阿列夫数，世界基数，不可达基数，马洛基数，弱紧致基数，不可描述基数，强可展开基数，0^#exists0^# 存在，可代迭基数拉姆齐基数，强拉姆齐基数，强基数，伍丁基数，超强基数，强紧致基数，超紧致基数，可扩展基数，沃彭卡原理，殆巨大基数，巨大基数，超巨大基数，1-巨大基数，2-巨大基数，3-巨大基数...n-巨大基数，公理I0-I3，0=1...宇宙都一概小于无限大的宇宙，它们都被无限大的宇宙包含和容纳

终极世界

哥德尔的可构造宇宙

L的构造：Lo=∅

L1=Def(Lo)=Def(∅)={∅}

...

Ln+1=Def(Ln)

...

Lω=Lo∪L1U...ULnU...=ULk

                                   K<ω

...

Lλ={Def(La)    若λ=α+1

      {U LK 若λ是极限序数    

     K<λ

L=ULK，K跑遍所有序数

    K

终极l

内模型计划(Inner Model program)

简单地说,设V是真实的集合论宇宙,但由于哥德尔提出的集合论内模型L无法容纳大基数的存在。

在此之后的集合论学家们所做的就是:构造类似于L的内模型,同时能够容纳大基数。

Woodin证明了:如果存在一个类似于L的模型M,它能容纳一个超紧致基数(supercompact) ,那就存在一个模型UU可以容纳已知的所有大基数; U非常接近集合论宇宙V。Woodin将这个模型U称为终极L(Ultimate L)

摘自知乎作者Ember Edison

V=终极-L的直接推论 

(Axiom Icarus set) 见证最大基数Icarus的存在性。 (Woodin) 见证真类多的Woodin基数。 

(L-like) 是最大的内模型。(ADR-like) 见证能够和选择公理兼容的最大的类- ADR 公理，并且θ是正则的。

(Ordinal Analysis) 拥有最大的证明论序数。（即使序数分析目前远未到ZFC的水平）

(Regularity property) 见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言（虽然具体的值我未曾找到）

(Ω−logic) 见证 Ω 猜想成立。

(V=HOD) 见证每一个集合都是遗传序数可定义的，HOD猜想成立。

(Reinhardt) 见证ZF+Reinhardt不一致。 ( H(λ+) ) 存在非平凡初等嵌入 j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+)) .

(Generic-Multiverse) V是最小的脱殊复宇宙。 (GCH) 见证广义连续统假设成立，并且 ω1 上有一个均匀预饱和理想。

(PFA) 见证正常力迫公理(Proper Forcing Axiom)成立。

PFA+存在一个Woodin基数可以见证，存在见证一个Woodin基数是Woodin基数的极限的内模型。PFA本身可以推出开放涂色公理OCA(Open coloring axiom)。是一个比较有用的力迫公理。

(◻MP) 见证必要最大化原则(Necessary Maximality Principle)成立。

如果在一个弱紧致基数的模型内见证 ◻MP 成立可以见证，存在见证一个Woodin基数的内模型并且投影决定性公理PD成立。另一个比较有用的力迫公理。

(UA) 见证超幂公理(Ultrapower Axiom)成立。

(UBH, CBH) 唯一分支假设UBH以及共尾分支假设CBH不成立。

V=终极-L的前置需求

(Supercompact) 一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。

(Ultrapower Axiom) 一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。

(SBH) 一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。

导读：目前最强的见证存在武丁基数的武丁强极限的内模型中见证cUBH(弱唯一分支假设)成立，并见证 ◻α 对一切基数 α 成立。

如果某个内模型见证一个基数 α 是 Π12 - 亚紧致基数存在则UBH(唯一分支假设)，CBH(共尾分支假设)，SBH(策略分支假设)，PFA都可以成立，并破坏 ◻α 。

V=终极-L的可能推论

(First-Order) V=终极-L是一个多元一阶算术(Many-Sorted First-Order Logic)集合论。

(finitely axiomatizable) 存在V=终极-L的有限公理化。

导读：终极-L本身当然不可能是有限公理化的。但是我们可以这样做：宣告ZF，宣告V=终极-L，宣告存在以上所有条款的最大序数真谓词。（可数传递模型/ α -传递模型是不需要的，因为终极-L见证 Ω 猜想成立）然后寻找这一套东西的保守扩张是有穷公理化的，将这个最终的东西命名为“V=终极-L的理论”。只要V=终极-L确实是多元一阶算术，就可以这样做。

(Limit of supercompact) 存在真类多的Eη基数并且每一个Eη基数都是超紧致基数的极限。

(AD-Conjecture) 对于每一个超紧致基数的极限基数 λ , ADλ 成立。

导读：I0和Icarus都是极其强大的内模型。第一个 ADL(R) 的证明使用I0基数的存在性而得以完成，而反过来说，这也证明了I0基数是和 ADL(R) 相似的类-AD公理。然而，继续向上推广I0会遇到一些疑难：I0本身已经并不是非常像决定性公理，或许继续往上会越来越不像决定性公理。所以在I0和Icarus之间发展出了三种不同的推广方式，也就是U(j)表示，Suslin表示，E层级。而如果AD-Conjecture成立可以终极地避免类似问题：我们在V和Icarus之间建立了绝对性。

(The Perfect Theory 2.b.) Icarus基数之下的每一个 ≥I0 基数的真类初等嵌入具有三歧性。

(V[G]) 如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的 ω− 序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。

(Universal Partition) 见证普遍分区公理成立。

(Strong Universal Partition) 见证强普遍分区公理成立。

(Canonical inner model) 终极L是一个典范内模型，并见证地面公理Ground Axiom成立。

V=终极L自身的疑难问题

( LΩ,LSΩ,L(∗)Ω ) 终极L是否是唯一的。

(Ultrafilter Axiom at λ) 如果只有一个终极-L，那么对于每一个超紧致基数的极限基数 λ , 超滤公理成立，反之不成立。

即使真的存在一个典范的内模型是终极L并且满足“Woodin的完美理论”的所有条款，也不一定只有一个这样的典范内模型。虽然Woodin与Peter Koellner等人认为终极-L几乎没有可能不是唯一的，然而如果内模型计划最终得到了这样的结果的话，终极-L也不会是柏拉图主义所完全满意的那个终极理论而变成了形式主义的又一次伟大胜利。

以下戏仿内模型计划的其中一个挑战理论，内模型假设的形式的猜想，假定了终极L至少具有 ω1CK 个这种宏伟意义上的唯一性失败。

(IMH for Ultimate-L) 对于每一个一阶语句 ψ 若位于一些 V 的外模型内那么存在一个终极内模型 LψΩ 满足 ψ。

(StrongIMH for Ultimate-L) 对于每一个带有参数 (ω1,ω2) 的一阶语句 ψ 若位于一些 V 的外模型内并且 ω1 -preserving和 ω2 -preserving 那么存在一个终极内模型 LψΩ 满足 ψ。

原版的 IMH 是一个具有最大宽度（通过将所有力迫外模型所增强的语句指认为宇宙内的适当内模型）但是极低的高度（不存在不可达基数）的“矮而最胖”的集合论公理。而相对的终极-L则是一个“最高而瘦”（最大的大基数和CH成立）的集合论公理。虽然不太可能成功，但是这样的一个缝合怪或许是某种意义的最优集合论理论。

(M-Max) ZFC+V=终极L 是否能比 ZFC+≤Icarus+MM++ 更为M-最大？

马丁最大化MM作为一个早年Woodin信奉后来又抛弃的概念，一直都有将MM的弱化（ MM++(c),PFA,OCA 等）和集合论局部结构的内模型相互比较强度的论文推出。诚然，终极-L会是一个S-最大(Steel-Maximization)理论，然而有人质疑V=终极L作为是否能在M-最大(Maddy-Maximization)意义上比MM更强，因为他们认为似乎终极L并不是那么的典范的内模型，并且最终提出了以下猜想。

(INEC) 解释不存在猜想Interpretation Non-Existence Conjecture:

ZFC+V=终极L中不存在关于 ZFC+≤Icarus+MM++ 的M-等价解释。因此，ZFC+≤Icarus+MM++严格意义地比 ZFC+V=终极L 更为M-最大。

冯诺伊曼宇宙

V0=∅

V1={∅}

V2={∅,{∅}}

...

Vn+1= P(Vn)P表示幂集

...

Vω=V1∪V2∪...∪Vn∪...∪=∪Vk

                                      k＜ω 

...

Vλ={P(Vα)  若λ=α+1

       {∪Vk    若λ是极限序数

       k＜λ

V=∪Vk   k跑遍所有序数

      k

魔神

在序数前时代，重数小于无限但超越正常数的实境强者都被称为魔神

在序数时代，能有ω1ck以上构造的个体都被称为实境魔神

在基数时代，大于阿列夫阿列夫阿列夫...不动点堆叠被称为临界强者，超过不可达基数不可达基数的被称为终极强者