【数学基础147】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（十六）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&3.二阶线性微分方程的一般理论

&3.2二阶线性非齐次方程解的结构

问题：设y0(x)是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的一个特解，y1(x)，y2(x)是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的一个基本解组，则y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的通解是y=y0(x)+c1y1(x)+c2y2(x)，求满足条件的一对c1，c2。

解：

• 已知y*(x)=c1y1(x)+c2y2(x)，要确定一对c1，c2，使得y*(x)是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的一个解；

• 求导

• 因为要找一组c1，c2即可，所以为了方便讨论，不妨设
  

• 那么

• 又有

• 于是我们得到关于c1(x)'、c2(x)'的方程组：

——第一个式子来自于前面我们的假设；

• 方程对应的系数行列式为：

• 根据克莱姆法则，该方程组的解为：

• 将上述导数分别积分即得所求：