推荐数学书

这几年读了一些有意思的数学书，推荐一下。在每本下会标明难度和前置课程。难度最高是5

推荐的书目会有跳跃（就有的课程我当时学的时候选的书并不是很好）

1.抽象代数基础教程--Rotman

难度：3.5

前置：假如学过线性代数会很好，没学过其中也会包含的

      这本书我强推！理由就在于这本书真的详细...我当时学抽象代数就是想知道伽罗瓦是怎么证明5次以上多项式没有求根公式，以及后面人怎么用这个理论证明不能化圆为方、三等分角的。（虽然最后这本书没有按照原来的证明，而是用了现代的一个新的路径）

       对于一个对于代数不擅长的人，这本书在证明的时候一个一个命题告诉你为什么这么想是真的太好了。。。很多教材都在一个证明里包含了太多代数的技巧，然而我不太能记住它。（毕竟我日常也不太用到，数学用不到就忘了）

2.直观拓扑--王敬庚

难度：1

前置：无

       这本书特别特别简单，基本没有什么数学证明，可以当一本科普书读。里面甚至没有多少抽象的符号，都是图和图和图。

      它基本介绍了 曲面分类定理、扭结以及对应的一些有趣的技巧（用直观的方式）。当然这本书不是“拓扑学”的入门教材，它甚至没有谈论过“同调”、“同伦”和“同胚”在数学上的定义。但是假如只是对拓扑学在低维几何上的应用感兴趣，这本书就会介绍一些非常简单（但也是很深刻的）应用。

3.应用随机过程--Ross

难度：4

前置：概率论，但是其实前几章会很详细地复习一遍

         这本书好的地方是1.没有涉及测度论 2.例题和习题非常、非常详细，而且有非常详细的应用，涉及生物、金融、排队...它这本书基本上把所有能遇到的初级的随机过程模型都介绍了。

          但是难是真的难。主要是很多技巧，诡异的技巧...而且整本书太过详细了...就不是所有随机过程模型都是我日后会用到的，但它都介绍了。有的应用实在是太偏了，假如只是对经济或金融上的应用感兴趣应该用不到（比如泊松过程的达到时间的条件分布，yysy我觉得我真的遇到的时候我就直接模拟一个就好了。）。而且很容易就迷失了主线...几页几页都是计算，估计，计算...然而算出来的东西应用的地方我也不熟悉就很难受（就像你在学PDE，然后这个PDE的背景是薄膜障碍模型。于是你去看这个模型，然后就在补物理。终于补完物理再去看数学的部分，又是计算，估计，计算。）。

4.线性与非线性泛函分析及其应用——Ciarlet

难度：5

前置：实变函数+数学分析必须；数值分析、微分几何会的话会读起来更容易

       这本书巨好，也巨难。好就好在 1.它的应用非常直接，也非常好懂。就比如，它书上的一个应用是如何数值求解二阶线性常微分方程。这个就很直接而且不需要学科背景。（毕竟这个就很广泛，而且方程写出来也很简单）。还有Larrange 插值法（就已知一段区间上未知的连续函数在n个点的取值，我用n次多项式把这n个点串起来。问：随着n增大，这个多项式能不能逼近原函数？）的发散性。2. 它问了很多好问题。比如在不同范数下，同一个数列可以有两个极限吗？假如两个范数都使一个集合完备，那这两个范数等价吗？这些问题学了这些概念都挺容易问的。

        但难也难在这里。它涉及很多其他学科的数学，然而那里的技巧也是要学的。（虽然他选的问题都是那种教科书上必有的命题，所以答案很容易查到）另一方面，有的问题虽然看上去很直接，但整个证明巨难，尤其是举例那种问题...虽然知道了对理解有很多帮助。