北师大王敬庚教授写给中学生的数学小文

前 言 为中学生朋友写一点课外读物，一直是我心中的一个愿望.欣逢湖南教育出版社编辑出版《视野》丛书，给了我这个很好的机会． 前苏联几何学家亚格龙曾指出："在初等几何中，除去一些具体的定理之外，还包含了两个重要的有普遍意义的思想，它们构成了几何学的一切进一步发展的基础，其重要性远远超出了几何学的界限.其中之一是演绎法和几何学的公理基础；另一个是几何的变换和几何学的群论基础．这些思想都是内容丰富和卓有成效的．"笔者认为亚格龙的上述见解，抓住了平面几何的根本，为我们学习平面几何指明了方向． 本书的目的就是向中学生朋友介绍关于几何变换的思想．除了介绍平面上的平移、旋转、轴反射及位似等常见的初等几何变换以外，为了开拓视野，还将介绍两种在中学几何课程中未涉及的几何变换﹣﹣仿射变换和射影变换．对于这后两种变换，当然不是抽象地一般地研究它们，而是分别着重介绍它们的常见的一种特殊情形﹣﹣平行投影和中心投影．形象地说，平行投影就是把图形变成它在一组平行光线照射下的影子，中心投影就是把图形变成它在由一点发出的光线束照射下的影子． 本书一方面要介绍各种变换的概念和性质，图形在各种变换下的不变性和不变量，另一方面还要介绍各种变换在研究几何问题中的应用，可能的话，也要说到在其他方面的一些应用．几何变换既是几何研究的重要内容，又是解决几何问题的重要方法．我们从变动的观点来研究几何，采用变换的方法解决几何问题． 要介绍近代关于几何学的观点，避不开变换群的概念，本书最后一章将尽可能简单通俗地给出变换群的概念．研究图形在一种变换群下的不变性和不变量，就构成一门几何学，这就是近代关于几何学的群论观点．用这种观点看待几何学，就把包括欧氏几何学在内的各种几何学，既区分开又统一起来了．由于全书就是按照这个观点来写的，因此具有中学水平的读者，阅读最后这一章，了解其基本思想，除了个别术语以外，我想是不会有太多困难的．本章最后还极其通俗直观地介绍了"橡皮变换"和它所对应的几何学﹣﹣外号叫"橡皮膜上的几何学"的拓扑学的点滴． 我的老师刘绍学教授对本书的写作自始至终给予指点和帮助，我的朋友物理系的杨敬明教授为我提供了与物理有关的内容；湖南教育出版社的胡坚和郑绍辉两位同志对本书的写作给予了热情的帮助并提出了宝贵意见；中科院数学所李培信教授审阅了本书的初稿，提出了许多宝贵的意见．作者向他们致以诚挚的谢意． 由于作者水平所限，书中的缺点和不足之处一定不少，欢迎批评指正． 王敬庚 1998年5月1日于北京师范大学数学系