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拓端tecdat|R语言Fama-French三因子模型实际应用：优化投资组合

2021-07-11 10:58 作者:拓端tecdat  | 我要投稿

原文链接：http://tecdat.cn/?p=20360 

原文出处：拓端数据部落公众号

本文将说明金融数学中的R 语言优化投资组合，因子模型的实现和使用。

具有单一市场因素的宏观经济因素模型

我们将从一个包含单个已知因子（即市场指数）的简单示例开始。该模型为

其中显式因子ft为S＆P 500指数。我们将做一个简单的最小二乘（LS）回归来估计截距α和加载β：

大多数代码行用于准备数据，而不是执行因子建模。让我们开始准备数据：



  3. # 设置开始结束日期和股票名称列表

  4. begin_date <- "2016-01-01"

  5. end_date <- "2017-12-31"


  8. # 从YahooFinance下载数据

  9. data_set <- xts()

  10. for (stock_index in 1:length(stock_namelist))

  11. data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],

  12. from = begin_date, to = end_date,

  13. head(data_set)

  14. #>                AAPL  AMD      ADI     ABBV AEZS        A       APD       AA       CF

  15. #> 2016-01-04 98.74225 2.77 49.99239 49.46063 4.40 39.35598 107.89010 23.00764 35.13227

  16. #> 2016-01-05 96.26781 2.75 49.62508 49.25457 4.21 39.22057 105.96097 21.96506 34.03059

  17. #> 2016-01-06 94.38389 2.51 47.51298 49.26315 3.64 39.39467 103.38042 20.40121 31.08988

  18. #> 2016-01-07 90.40047 2.28 46.30082 49.11721 3.29 37.72138  99.91463 19.59558 29.61520

  19. #> 2016-01-08 90.87848 2.14 45.89677 47.77789 3.29 37.32482  99.39687 19.12169 29.33761

  20. #> 2016-01-11 92.35001 2.34 46.98954 46.25827 3.13 36.69613  99.78938 18.95583 28.14919


  22. head(SP500_index)

  23. #>              index

  24. #> 2016-01-04 2012.66

  25. #> 2016-01-05 2016.71

  26. #> 2016-01-06 1990.26

  27. #> 2016-01-07 1943.09

  28. #> 2016-01-08 1922.03

  29. #> 2016-01-11 1923.67

  30. plot(SP500_index)



  2. # 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子

  3. X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)

  4. N <- ncol(X)  # 股票数量

  5. T <- nrow(X)  # 天数

现在我们准备进行因子模型拟合。LS拟合很容易在R中实现，如下所示：


  2. beta <- cov(X,f)/as.numeric(var(f))

  3. alpha <- colMeans(X) - beta*colMeans(f)

  4. sigma2 <- rep(NA, N)


  6. print(alpha)

  7. #>              index

  8. #> AAPL  0.0003999086

  9. #> AMD   0.0013825599

  10. #> ADI   0.0003609968

  11. #> ABBV  0.0006684632

  12. #> AEZS -0.0022091301

  13. #> A     0.0002810616

  14. #> APD   0.0001786375

  15. #> AA    0.0006429140

  16. #> CF   -0.0006029705

  17. print(beta)

  18. #>          index

  19. #> AAPL 1.0957919

  20. #> AMD  2.1738304

  21. #> ADI  1.2683047

  22. #> ABBV 0.9022748

  23. #> AEZS 1.7115761

  24. #> A    1.3277212

  25. #> APD  1.0239453

  26. #> AA   1.8593524

  27. #> CF   1.5702493

或者，我们可以使用矩阵表示法进行拟合

，我们定义

和扩展因子

。然后最小化

  1. t(X) %*% F_ %*% solve(t(F_) %*% F_)


  3. #>              alpha      beta

  4. #> AAPL  0.0003999086 1.0957919

  5. #> AMD   0.0013825599 2.1738304

  6. #> ADI   0.0003609968 1.2683047

  7. #> ABBV  0.0006684632 0.9022748

  8. #> AEZS -0.0022091301 1.7115761

  9. #> A     0.0002810616 1.3277212

  10. #> APD   0.0001786375 1.0239453

  11. #> AA    0.0006429140 1.8593524

  12. #> CF   -0.0006029705 1.5702493

  13. E <- xts(t(t(X) - Gamma %*% t(F_)), index(X))  # 残差


另外，我们可以简单地使用R为我们完成工作：


  2. cbind(alpha = factor_model$alpha, beta = factor_model$beta)

  3. #>              alpha     index

  4. #> AAPL  0.0003999086 1.0957919

  5. #> AMD   0.0013825599 2.1738304

  6. #> ADI   0.0003609968 1.2683047

  7. #> ABBV  0.0006684632 0.9022748

  8. #> AEZS -0.0022091301 1.7115761

  9. #> A     0.0002810616 1.3277212

  10. #> APD   0.0001786375 1.0239453

  11. #> AA    0.0006429140 1.8593524

  12. #> CF   -0.0006029705 1.5702493

可视化协方差矩阵

有趣的是，可视化对数收益率[算术处理误差]

以及残差Ψ的估计协方差矩阵。让我们从对数收益率的协方差矩阵开始：


  2. main = "单因子模型对数收益的协方差矩阵")

我们可以观察到所有股票都是高度相关的，这是市场因素的影响。为了检查股票相关关系，我们绘制相关图：

  1. plot(cov2cor(Psi),

  2. main = "残差协方差矩阵")


  2. cbind(stock_namelist, sector_namelist)  # 股票的行业

  3. #>       stock_namelist sector_namelist

  4. #>  [1,] "AAPL"         "Information Technology"

  5. #>  [2,] "AMD"          "Information Technology"

  6. #>  [3,] "ADI"          "Information Technology"

  7. #>  [4,] "ABBV"         "Health Care"

  8. #>  [5,] "AEZS"         "Health Care"

  9. #>  [6,] "A"            "Health Care"

  10. #>  [7,] "APD"          "Materials"

  11. #>  [8,] "AA"           "Materials"

  12. #>  [9,] "CF"           "Materials"

有趣的是，我们可以观察到对Ψ执行的自动聚类可以正确识别股票的行业。

评估投资资金

在此示例中，我们将基于因子模型评估几种投资基金的绩效。我们将标准普尔500指数作为明确的市场因素，并假设无风险收益为零 rf = 0。特别是，我们考虑六种交易所买卖基金（ETF）：

我们首先加载数据：



  3. # 设置开始结束日期和股票名称列表

  4. begin_date <- "2016-10-01"

  5. end_date <- "2017-06-30"


  7. # 从YahooFinance下载数据

  8. data_set <- xts()

  9. for (stock_index in 1:length(stock_namelist))

  10. data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],


  12. head(data_set)

  13. #>                 SPY   XIVH     SPHB     SPLV     USMV      JKD

  14. #> 2016-10-03 203.6610 29.400 31.38322 38.55683 42.88382 119.8765

  15. #> 2016-10-04 202.6228 30.160 31.29729 38.10687 42.46553 119.4081

  16. #> 2016-10-05 203.5195 30.160 31.89880 38.02249 42.37048 119.9421

  17. #> 2016-10-06 203.6610 30.160 31.83196 38.08813 42.39899 120.0826

  18. #> 2016-10-07 202.9626 30.670 31.58372 37.98500 42.35146 119.8296

  19. #> 2016-10-10 204.0197 31.394 31.87970 38.18187 42.56060 120.5978


  21. head(SP500_index)

  22. #>              index

  23. #> 2016-10-03 2161.20

  24. #> 2016-10-04 2150.49

  25. #> 2016-10-05 2159.73

  26. #> 2016-10-06 2160.77

  27. #> 2016-10-07 2153.74

  28. #> 2016-10-10 2163.66


  30. # 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子

  31. X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)

  32. N <- ncol(X)  # 股票数量

  33. T <- nrow(X)  # 天数



现在我们可以计算所有ETF的alpha和beta：


  2. #>              alpha      beta

  3. #> SPY   7.142225e-05 1.0071424

  4. #> XIVH  1.810392e-03 2.4971086

  5. #> SPHB -2.422107e-04 1.5613533

  6. #> SPLV  1.070918e-04 0.6777149

  7. #> USMV  1.166177e-04 0.6511667

  8. #> JKD   2.569578e-04 0.8883843

现在可以进行一些观察：

  • SPY是S＆P 500的ETF，如预期的那样，其alpha值几乎为零，beta值几乎为1： α= 7.142211×10-5和 β= 1.0071423。

  • XIVH是具有高alpha值的ETF，计算出的alpha值是ETF中最高的（高1-2个数量级）： α= 1.810392×10-3。

  • SPHB是一种ETF，据推测具有很高的beta，而计算出的beta却是最高的，但不是最高的：β= 1.5613531。有趣的是，计算出的alpha为负，因此，该ETF应谨慎。

  • SPLV是降低波动性的ETF，实际上，计算得出的beta偏低：β= 0.6777072。

  • USMV还是降低波动性的ETF，实际上，计算出的beta是最低的：β= 0.6511671。

  • JKD显示出很好的折衷。

我们可以使用一些可视化：


  2. barplot(rev(alpha), horiz = TRUE, main = "alph

我们还可以使用例如Sharpe比率，以更系统的比较不同的ETF。回顾一种资产和一个因素的因子模型

我们获得

夏普比率如下：

假设

。因此，基于Sharpe比率对不同资产进行排名的一种方法是根据α/β比率对它们进行排名：


  2. print(ranking)

  3. #>         alpha/beta         SR         alpha      beta

  4. #> XIVH  7.249952e-04 0.13919483  1.810392e-03 2.4971086

  5. #> JKD   2.892417e-04 0.17682677  2.569578e-04 0.8883843

  6. #> USMV  1.790904e-04 0.12280053  1.166177e-04 0.6511667

  7. #> SPLV  1.580189e-04 0.10887903  1.070918e-04 0.6777149

  8. #> SPY   7.091574e-05 0.14170591  7.142225e-05 1.0071424

  9. #> SPHB -1.551287e-04 0.07401566 -2.422107e-04 1.5613533

可以看到：

  • 就α/β而言，XIVH最佳（α最大），而SPHB最差（α负）。

  • 就夏普比率（更确切地说，是信息比率，因为我们忽略了无风险利率）而言，JDK是最好的，其次是SPY。这证实了大多数投资基金的表现不超过市场的观点。

  • 显然，无论以哪种衡量标准，SPHB都是最差的：负α，负β比率和Sharpe比率。

  • JDK之所以能够取得最佳性能，是因为它的alpha值很好（尽管不是最好的），而同时具有0.88的中等beta值。

  • XIVH和SPHB有大量不同的beta，因此在市场上具有极端敞口。

  • USMV在市场上的曝光率最小，有可接受的alpha值，并且其Sharpe比率接近第二和第三高的位置。

Fama-French三因子模型

该示例将说明使用标准普尔500指数中的九种股票的Fama-French三因子模型。让我们从加载数据开始：



  3. # 设置开始结束日期和股票名称列表

  4. begin_date <- "2013-01-01"

  5. end_date <- "2017-08-31"


  7. # 从YahooFinance下载数据

  8. data_set <- xts()

  9. for (stock_index in 1:length(stock_namelist))

  10. data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],


  12. # 下载Fama-French因子



  15. head(fama_lib)

  16. #>            Mkt.RF   SMB   HML

  17. #> 1926-07-01   0.10 -0.24 -0.28

  18. #> 1926-07-02   0.45 -0.32 -0.08

  19. #> 1926-07-06   0.17  0.27 -0.35

  20. #> 1926-07-07   0.09 -0.59  0.03

  21. #> 1926-07-08   0.21 -0.36  0.15

  22. #> 1926-07-09  -0.71  0.44  0.56

  23. tail(fama_lib)

  24. #>            Mkt.RF   SMB   HML

  25. #> 2017-11-22  -0.05  0.10 -0.04

  26. #> 2017-11-24   0.21  0.02 -0.44

  27. #> 2017-11-27  -0.06 -0.36  0.03

  28. #> 2017-11-28   1.06  0.38  0.84

  29. #> 2017-11-29   0.02  0.04  1.45

  30. #> 2017-11-30   0.82 -0.56 -0.50


  32. # 计算股票的对数收益率和Fama-French因子

  33. X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)

  34. N <- ncol(X)  #股票数量



现在我们在矩阵F中具有三个因子，并希望拟合模型

，其中现在的载荷是一个beta矩阵：

。我们可以做最小二乘拟合，最小化

。更方便地，我们定义

和扩展因子 

。然后可以将LS公式写为最小化

  1. print(Gamma)

  2. #>              alpha        b1          b2          b3

  3. #> AAPL  1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858

  4. #> AMD   6.181760e-04 1.4062105  0.80738336 -0.07240117

  5. #> ADI  -2.285017e-05 1.2124008  0.09025928 -0.20739271

  6. #> ABBV  1.621380e-04 1.0582340  0.02833584 -0.72152627

  7. #> AEZS -4.513235e-03 0.6989534  1.31318108 -0.25160182

  8. #> A     1.146100e-05 1.2181429  0.10370898 -0.20487290

  9. #> APD   6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061  0.11060938

  10. #> AA   -4.587722e-05 1.3391852  0.62590136  0.99858692

  11. #> CF   -5.777426e-04 1.0387867  0.48430007  0.82014523

另外，我们可以使用R完成：

  1. #>              alpha    Mkt.RF         SMB         HML

  2. #> AAPL  1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858

  3. #> AMD   6.181760e-04 1.4062105  0.80738336 -0.07240117

  4. #> ADI  -2.285017e-05 1.2124008  0.09025928 -0.20739271

  5. #> ABBV  1.621380e-04 1.0582340  0.02833584 -0.72152627

  6. #> AEZS -4.513235e-03 0.6989534  1.31318108 -0.25160182

  7. #> A     1.146100e-05 1.2181429  0.10370898 -0.20487290

  8. #> APD   6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061  0.11060938

  9. #> AA   -4.587722e-05 1.3391852  0.62590136  0.99858692

  10. #> CF   -5.777426e-04 1.0387867  0.48430007  0.82014523

统计因子模型

现在让我们考虑统计因子模型或隐式因子模型，其中因子和载荷均不可用。调用具有 K因子的模型 XT =α1T+ BFT + ET的主成分方法：

  1. PCA：

    • 样本均值：

    • 矩阵：

    • 样本协方差矩阵：

    • 特征分解：

  1. 估计：

    •  



  1. 更新特征分解：

  1. 重复步骤2-3，直到收敛为止。

  1. #>              alpha

  2. #> AAPL  0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226

  3. #> AMD   0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146  0.0114549515

  4. #> ADI   0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139

  5. #> ABBV  0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810

  6. #> AEZS -0.0041576357 0.0769496344  0.002935950  0.0006249473

  7. #> A     0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654

  8. #> APD   0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394

  9. #> AA    0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957

  10. #> CF   -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661

同样，我们可以使用R完成工作：

  1. #>              alpha      factor1      factor2       factor3

  2. #> AAPL  0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226

  3. #> AMD   0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146  0.0114549515

  4. #> ADI   0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139

  5. #> ABBV  0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810

  6. #> AEZS -0.0041576357 0.0769496344  0.002935950  0.0006249473

  7. #> A     0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654

  8. #> APD   0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394

  9. #> AA    0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957

  10. #> CF   -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661

通过不同因子模型进行协方差矩阵估计的最终比较

我们最终将比较以下不同的因子模型：

  • 样本协方差矩阵

  • 宏观经济一因素模型

  • 基本的三因素Fama-French模型

  • 统计因素模型

我们在训练阶段估计模型，然后将估计的协方差矩阵与测试阶段的样本协方差矩阵进行比较。估计误差将根据PRIAL（平均损失提高百分比）进行评估：

加载训练和测试集：

  1. # 设置开始结束日期和股票名称列表

  2. begin_date <- "2013-01-01"

  3. end_date <- "2015-12-31"


  5. # 准备股票数据

  6. data_set <- xts()

  7. for (stock_index in 1:length(stock_namelist))

  8. data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],



  11. #   Fama-French 因子

  12. mydata <- mydata[-nrow(mydata),



  15. # 准备指数

  16. f_SP500 <- diff(log(SP500_index), na.pad = FALSE)


  18. # 将数据拆分为训练数据和测试数据

  19. T_trn <- round(0.45*T)

  20. X_trn <- X[1:T_trn, ]

  21. X_tst <- X[(T_trn+1):T, ]

 现在让我们用训练数据估算不同的因子模型：


  2. # 样本协方差矩阵

  3. Sigma_SCM <- cov(X_trn)


  5. # 单因素模型

  6. Gamma <- t(solve(t(F_) %*% F_, t(F_) %*% X_trn))


  8. E <- xts(t(t(X_trn) - Gamma %*% t(F_)), index(X_trn))


  10. # Fama-French三因子模型


  12. Sigma_FamaFrench <- B %*% cov(F_FamaFrench_trn) %*% t(B) + diag(diag(Psi))


  14. # 统计单因子模型


  16. while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {

  17. B <- eigSigma$vectors[, 1:K, drop = FALSE] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)




  21. # 统计三因子模型

  22. K <- 3


  24. while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {

  25. B <- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)

  26. Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))


  28. Sigma_PCA3 <- Sigma


  30. # 统计五因子模型

  31. K <- 5


  33. eigSigma <- eigen(Sigma)

  34. while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {

  35. B <- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)

  36. Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))

最后，让我们比较测试数据中的不同估计：


  2. Sigma_true <- cov(X_tst)


  4. barplot(error, main = "协方差矩阵估计误差",


  2. PRIAL <- 100*(ref - error^2)/ref


  4. barplot(PRIAL, main = "协方差矩阵估计的先验方法",

最终可以看到使用因子模型进行协方差矩阵估计会有所帮助。

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