《高等代数》/《线性代数》期末复习不挂科以及笔记分享（2）：第七章线性变换
因为这一章特别重要，所以我写稿写了特别久，也准备了不少的解释，怎么把这个东西给大家解释清楚，让大家更好理解，但是例子是真的不好举了，确实不太直观，所以大家尽量看我标注的重点去理解就好！
这一节一句话就可以解释掉，线性变换的定义其实就是
线性变换：在线性空间里做的一个对于向量的变换，满足加法和数乘
这个变换其实跟一般的数具有的性质非常相似，我们新定义了一个东西，那在数学（环）里就是要研究它的加减乘逆，很自然就要研究它们的加减乘逆是不是线性变换，而结果是显然的。
我们确实定义了一个在线性空间上满足加法和数乘的线性变换，美其名曰对于向量的一个变换，但是很抽象啊，怎么刻画呢？那这个时候就要通过基来操作了：
线性变换的核心定义在于其可以通过一个矩阵和一个基一一对应，称为线性变换在这个基下的矩阵，于是在基确定的情况下，线性变换又跟矩阵一一对应！
于是计算题的核心就是算出某一线性变换在某个基下的矩阵，严格按照下面线性变换和其基的关系即可：
（练上面例题的计算就可以了！）
更重要的是，不同基在一个线性变换上的矩阵是有关系的：
（必须记忆公式，非常重要！）
于是引出相似的定义：
相似矩阵可以用来求一个矩阵的幂，其最为重要的性质是：
相似矩阵的性质：
1、特征值相同
2、秩相同
3、迹相同 （对角线上元素之和）
4、行列式相同
紧紧抓住相似矩阵的这四个性质，会让你在考试的时候非常快乐地秒杀题目！
关于例题这种计算题，紧紧抓住线性变换的矩阵和基之间的过渡矩阵，基的坐标变换公式就可以，多练几道！
特征值！！！！！！！！非常重要
意思是什么呢，对于某一个线性变换，存在一个值和一个向量，经过这个线性变换之后，这个向量方向保持相同或相反！
那么特征值怎么求呢，经过很简单的：
关于特征多项式：（一样是让你考试时候很开心的结论！）
1、A的全体特征值的和=A的迹，就是主对角线上各元素的和！
2、A的全体特征值的积等于A的行列式！
3、相似矩阵具有相同的特征多项式！
关于矩阵A的各种变形矩阵的特征值和特征向量，可以再看表记忆一下。
本节的主要题目分为：
1、很简单的，求一个线性变换在一个具体的基下的特征值和特征向量，按照上面的步骤按部就班就可以，例题部分需要多看一下，因为是必考，所以一定要熟练掌握运算步骤。
2、一些比较难的跟线性变换和矩阵特征值特征向量相关的综合题，包括一些计算和证明，上面的例题可以自己看一下。概念和计算的结合部分必须掌握，但证明真的是爱莫能助了。
最后介绍一个易忘的概念：特征子空间
其实就是一个线性空间中一个线性变换关于某个特征值的全部特征向量再加上零向量所组成的集合！
我们前面讨论了这么多，是为了什么？其实就是为了一个矩阵是否能够对角化的问题！因为对角化可以让很多事情变得特别简单，因而研究对角化是非常重要的一个课题。
书上有定理8：一个矩阵可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量
而属于不同的特征值的特征向量肯定线性无关，也就是如果特征多项式没有重根就一定可对角化。如果有重根，就要看属于重根的特征向量是否线性无关了。
对称矩阵必然可以对角化，而且其特征值一定是实数！！！这将在第九章欧几里得空间给出证明
顺带一提，为什么我们要研究矩阵的对角化问题，并且矩阵对角化是研究特征值的最终导向，所谓引入特征值特征向量都是为了对角化问题。其有几个应用：一个是为了化标准二次型，一个是为了求矩阵的幂，因为对角矩阵的幂是最好求的！！
在这个式子里，我们为了求复杂矩阵A的幂，先求出可以使矩阵A对角化矩阵为B的X，再把矩阵B的幂算出来，再反求出矩阵A的k次幂，这就是为什么要研究对角化问题！
因而这样一说，你就明白并且立即可以证明为什么幂零矩阵不能够和对角矩阵相似了。
线性变换的核和值域，也很简单，对于线性变换而言：（前核后值域）
其实非常直观，核就是经过线性变换后变成零向量的向量集合，值域就是所有向量经过线性变换后的向量集合。
当然，对于线性空间上定义线性变换的核和值域，它们自己就构成了这个线性空间的子空间，可以自己通过验证封闭性以及加法和数乘证明。
于是我们定义，一个线性变换的“核空间”的维数称为这个线性变换的零度，而一个线性变换的“值域空间”的维数称为这个线性变换的秩，随即通过扩基定理可以证明（证明注意看，思想很重要）：
当然有一些推论：通过值域和核的性质可以推出，如果线性变换是满射，那么它的值域是整个空间；如果线性变换是单射，那么它的核只含有零，根据上面的公式，可以推出一个线性变换是单射的充要条件是满射！（计算就是算一个核和值域练练手的就可以了！）
题目非常多样化，有时会让你扩基的证明（参照零度加秩等于原空间维数的证明）；有时会让你计算扩基，那就按部就班就可以；还有会让你证明单射/满射，那就直接根据定义来就可以，或者相互推也可以！（例题必须搞懂）
不变子空间的话理解很简单，但题目一般就比较难了。（看看理解就好）
***线性空间分解和线性变换矩阵化简以及根子空间***（***代表比较难而且考频较低）：
理解有难度，没时间可以不看了，而且这里我的理解也不一定到位！
Jordan标准型更有意思，如果一个矩阵没有办法对角化的话，那么对于这样的一个矩阵，它在复数域上最简单最简单最多最多能被化成若尔当块的组合，就是Jordan标准型，也取决于特征值和其重数！（这将在在第八章详细介绍）
至此加上14，矩阵相似的充要条件（加上第八章）：
初等因子组相同
不变因子相同
特征矩阵等价
行列式因子相同
如果可以对角化，特征值相等
判断是否相似可以通过：
特征值是否相等（特征值不同必不相似）
最小多项式是否相同（不同必不相似）来判断
（不考但有用）
至于怎么求最小多项式，那就根据它自己的特征多项式，一个一个因式验证就可以求出最小多项式了。
最小多项式的作用在于判断矩阵是否相似，因为相似矩阵一定有相同的最小多项式（反过来不行！）
至于题目肯定也是求最小多项式和判断相似了，按照我上面的来即可。
至此，线性空间的基础讲解就结束了，那么接下来就是λ-矩阵和欧氏空间，也敬请期待，会尽快尽快更新的！
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