BCJR应用-ISI信道均衡

这个文章，我们讲一下有码间干扰信道的均衡问题，也算是 BCJR 算法的一个应用。

录制的视频在 https://www.bilibili.com/video/BV1EY4y1d7Dp/

我们先看一下这个问题的背景。假设一个信道，数据发送后由于走不同的路径（可能原因之一），到达接收端有不同的延迟以及不同的衰减系数，例如 在 k=0 时刻发送了一个数据，接收端在  k=0, k=1, k=2, k=4 这几个时刻都收到了 k=0 时刻发送的数据，每一个时刻收到的数据，都对应一个衰减系数，我们这里不考虑相位的变化，只考虑幅度的衰减，则 h0, h1, h2, h4 这样四个衰减系数。

则不同时刻收到的数据可以表示为：

实际上就是一个卷积的过程，如果令 ， 则：

可以画成如下的图形：

图一:

对于这样一个信道，我们可以想到，在收到 N 个接收数据 r 后，如何估计出来发送的数据 X ? 这就是所谓的信道均衡或者说信道 detection 的问题。

用概率公式的方式，可以表示为：

由于我们做的是卷积计算，因此，公式 (1) 不能写成多个概率的乘积，所以，计算量会非常大。我们可以按照每个输入时刻来计算概率：

即

其中 r 是一个 N 维向量.

我们可以把上面的图一，看成是码率为 1 的卷积码，那么，我们就可以用 BCJR 算法来计算公式 (2) 的概率。

用这种方法做的均衡(equalization)，是基于栅格的方法(Trellis-based method)，当然还有其他方法，例如线性滤波的方法。

从公式 (3) 出发：

其中  表示在 t 时刻，输入 x 引起的所有可能的状态转移.

我们接着分析公式 (4) 中的 

继续分析公式 (5) 中分子的部分：

对于  概率

对于  概率

因此，把公式 (6) 代入公式 (4)

 概率又可以根据公式 (7) (8) 递推得到。

关于  概率，可以根据先验概率和信道给的信息计算出来：

所以，我们把这种有码间干扰 (Inter-Symbol Interference)的信道，可以看成等效的码率为1的卷积码，从而可以使用 BCJR 算法做概率计算，从而做信道detection(也成为信道均衡  channel equalization).

这也算 BCJR 算法的一个具体应用吧。