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矩阵的初等变换与线性方程组【泽程读研PDF】
本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念。并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质;然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有惟-解或有无限多解的充分必要条件,并介绍用初等变换解线性方程组的方法.
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算,它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用.为引进矩阵的初等变换，先来分析用消元法解线性方程组的例子.【泽程读研PDF】
向量组的线性组合、 线性表示及等价等概念,也可移用于线性方程组:对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方程组A的一个线性组合;若方程组B的每个方程都是方程组A的线性组合,就称方程组B能由方程组A线性表示,这时方程组A的解- -定是方程组B的解;若方程组A与方程组B能相互线性表示,就称这两个方程组可互推,可互推的线性方程组一定同解.【泽程读研PDF】
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在上一章中,我们已经介绍了用矩阵的初等变换解线性方程组的方法,并建立了两个重要定理,即
(1) n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A) <n.
(2)n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B的秩,且当R(A)= R(B)=n时方程组有惟一解,当R(A)= R(B)=r<n时方程组有无限多个解.【泽程读研PDF】
下面我们用向量组线性相关性的理论来讨论线性方程组的解.先讨论齐次线性方程组.设有齐次线性方程组
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