椭圆标准方程推导

2023-03-05 10:00 作者:げいしも_芸 0人读过 | 我要投稿

要想得到椭圆的标准方程，我们首先要从椭圆的第一定义开始

椭圆第一定义：

对于平面内一动点P，两定点F_1，F_2，若P满足

$%5Cvert%20PF_1%5Cvert%2B%5Cvert%20PF_2%5Cvert%3D2a$

其中a为一常数，那么我们称P的轨迹为椭圆

椭圆标准方程

由定义可得：对于

$P(x%2Cy)%2CF_1(c%2C0)%2CF_2(-c%2C0)%EF%BC%8Cc%3Ca$

有：

$%5Csqrt%7B(x-c)%5E2%2By%5E2%7D%2B%5Csqrt%7B(x%2Bc)%5E2%2By%5E2%7D%3D2a$

移项后两边平方，得：

$(x-c)%5E2%2By%5E2%3D4a%5E2%2B(x%2Bc)%5E2%2By%5E2-4a%5Csqrt%7B(x%2Bc)%5E2%2By%5E2%7D$

整理得到

$-xc-a%5E2%3Da%5Csqrt%7B(x%2Bc)%5E2%2By%5E2%7D$

两边再次平方，得：

$a%5E4%2B2a%5E2cx%2Bc%5E2x%5E2%3Da%5E2(x%5E2%2B2cx%2Bc%5E2%2By%5E2)$

即：

$(a%5E2-c%5E2)x%5E2%2Ba%5E2y%5E2%3Da%5E4-a%5E2c%5E2$

这时，令

$b%5E2%3Da%5E2-c%5E2$

两边同除 $a%5E2(a%5E2-c%5E2)$ 可得：

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$

即为椭圆的标准方程

对于其他园锥曲线，例如抛物线、双曲线等，用类似的方法可得到其对应的标准方程

（不知道各位对学校在教学的时候会不会将推导，所以决定写一篇

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