复旦大学谢启鸿高等代数每周一题[2021A12]参考解答

2021-12-04 09:54 作者:CharlesMa0606 0人读过 | 我要投稿

本文是本人给出的2021年复旦大学谢启鸿高等代数的每周一题[问题2021A11]的解答

题目来自于复旦大学谢启鸿教授在他的博客提供的每周一题练习

（链接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/15329047.html）

本文仅供学习交流，如有错误恳请指正！

[问题2021A12]设 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩等于 $r$ ， $k$ 为非零常数.证明： $A%5E2%3DkA$ 的充要条件是对 $A$ 的任一满秩分解 $A%3DBC$ 都有 $CB%3DkI_r$ .

解先证充分性，若对 $A$ 的任一满秩分解 $A%3DBC$ 都有 $CB%3DkI_r$ ，那么

$A%5E2%3DBCBC%3DBkI_rC%3DkBC%3DkA$

再证必要性，若 $A%5E2%3DkA$ ,设 $A%3DBC$ 是 $A$ 的任意一个满秩分解，于是：

$%7BBCBC%3DA%7D%5E2%3DkA%3DkBC$

因为列满秩阵存在左逆，行满秩阵存在右逆，从而

$CB%3DkI_r$

于是我们证明了 $A%5E2%3DkA$ 的充要条件是对 $A$ 的任一满秩分解 $A%3DBC$ 都有 $CB%3DkI_r$ .

$%5BQ.E.D%5D$

注(1)这道题是复旦大学谢启鸿高等代数习题课_哔哩哔哩_bilibili的练习题4,是第三届全国大学生数学竞赛决赛一道代数试题的推广，之前也已经上传到过我的专栏.

(2)文末附上图片格式的解法，有需要的读者可以自行取用，仅供学习交流

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