论自然常数e

        从一道寒假作业里的题说起。

证明：

        先看一张图。

        其实这玩意儿隐含了一件事，叫做

        证明题目中的式子，还需要证明其单调性。

        左边

        即

        这就证明了左边单调递增。

        右边

        即

        这就证明了右边单调递减。

        在这里，要特别注意一点。

        事实上，包括两个式子：

        第一个式子上文已证，

        第二个式子只要令，则时，，此时

        关于，著名的故事便是复利。

        假设经过年利息为，经过年利息为。

        也就是说，一年中结算次利息，得到的最终本利和为。

        列表如下。

        该式上涨有极限。

        是无理数，还是个超越数。

        关于，一个精妙绝伦的式子便是：

        这就是的麦克劳林展开式中令的结果。

        另一个最完美的式子，欧拉公式

        具体说明均可参考以下文档。